07_ ОТС_ Дискретизация сигналов

1. Дискретизация сигналов. Теорема отсчётов

С. А. Алексейцев

2. Сигналы с ограниченной полосой

X ( f ) 0 при f
x L2 ( , )
x(t ) 0 при t
Если спектральная плотность финитна
x(t )
Fв , Fв
x[ n ]
t
2

3. Теорема отсчётов

Х. Найквист - 1928
Э. Уиттекер - 1915
В.А. Котельников - 1933
К. Шеннон - 1948
3

4.

Котельников В.А.
”О пропускной способности
«эфира» и проволоки в
электросвязи”.
В сб. Всесоюзный
энергетический комитет.
Материалы к I Всесоюзному
съезду по вопросам
технической реконструкции
дела связи и развития
слаботочной
промышленности. По
радиосекции. – М.:
Управление связи РККА, 1933.
- С. 1-19.
1908 — 2005
4

5. Теорема отсчётов

X(f )
Э. Уиттекер - 1915
Х. Найквист - 1928
В.А. Котельников - 1933
К. Шеннон - 1948
Fв
Fв
f
Представим комплексным рядом Фурье
X ( f ) Ck e
k
j
2
kf
2 Fв
,
Fв
1
Ck
X ( f )e
2 Fв F
в
j
2
kf
2 Fв
df , k ,
5

6. Теорема отсчетов Котельникова

Выразим сигнал через обратное преобразование
Фурье его спектральной плотности
Fв
j 2 ft
x(t ) X ( f )e
df
Fв
Fв
Ck e
2
j
kf
2 Fв
e
j 2 ft
df
Fв k
Fв
k
Fв
Ck
1
j 2 f t k
2
F
в
e
df
6

7.

Fв
k
Fв
Ck
1
j 2 f t k
2
F
в
e
df
1
Ck cos 2 f t k
df
2
F
в
k
Fв
Fв
1
sin 2 Fв t k
2 Fв
Ck 2 Fв
1
k
2 Fв t k
2 Fв
7

8.

Коэффициенты ряда Фурье
2
Fв
j
kf
1
2 Fв
Ck
X ( f )e
df
2 Fв F
в
Fв
1
j 2 ft
X ( f )e
df
2 Fв F
в
1
x k
2 Fв
2 Fв
1
t k
2 Fв
8

9.

1
d
2 Fв
Обозначим T
sin t kTd
Td
x(t ) x kTd
k
t kTd
Td
sin
t
nT
d
Td
x nTd
n
t nTd
Td
9

10. Ряд Котельникова

sin
t
nT
d
Td
x(t ) x nTd
n
t nTd
Td
Итак
базисные функции
1
Td
2 Fв
n (t ), n ,
0 (t ) sin t
Td
t
Td
n (t ) 0 (t nTd )
10

11.

sin
t
nT
d
Td
x(t ) x nTd
n
t nTd
Td
11

12.

sin
t
nT
d
Td
x(t ) x nTd
n
t nTd
Td
12

13. Базис Котельникова

Сравним
X ( f ) Ck e
2
j
kf
2 Fв
k
1
sin 2 Fв t k
2 Fв
x(t ) Ck 2 Fв
1
k
2 Fв t k
2 Fв
13

14.

согласно обобщённой формуле Рэлея
1
1
sin 2 Fв t k
sin 2 Fв t m
2 Fв
2 Fв
,
1
1
2 Fв t m
2 Fв t k
2 Fв
2 Fв
1 j 2 kf 1 j 2 mf
2 Fв
2 Fв
e
,
e
2 Fв
2 Fв
14

15.

1 j 2 kf 1 j 2 mf
2 Fв
2 Fв
e
,
e
2 Fв
2 Fв
Fв
1
e
2
4 Fв F
2
j
( k m ) f
2 Fв
в
Fв
1
( k , m )
e
2
4 Fв F
в
1
km
df
2 Fв
2
j
( k m) f
2 Fв
1
df
km
2 Fв
Базис ортогональный ненормированный
15

16. Восстановление аналогового сигнала по отсчётам

0 (t ) sin t t
Td Td
(t )
ЛИС-цепь
(t nTd )
x(nTd ) (t nTd )
sin t nTd
Td
n (t )
t nTd
Td
sin t nTd
Td
x(nTd )
t nTd
Td
16

17.

Осталось просуммировать по n
v(t ) x(nTd ) (t nTd )
n
ЛИС-цепь
sin
t
nT
d
Td
x(t ) x nTd
n
t nTd
Td
17

18.

Спектральная трактовка
Воздействие (иАИМ-сигнал)
v(t ) x(nTd ) (t nTd )
n
x(t ) (t nTd ) x(t ) (t )
n
где (t )
(t nTd )
n
t
0
Td 2Td
ЛИС-цепь
18

19.

Согласно теореме умножения
V ( f ) X ( f ) ( f )
v(t ) x(t ) (t )
(t ) Sn e
n
2
j nt
Td
Td /2
ряд Фурье с коэффициентами
1
Sn
(t )e
Td T /2
2
j nt
Td
d
1
dt
Td
Поэтому спектральная плотность
1
n
( f )
f
Td n
Td
19

20.

Спектральная плотность
( f )
f
2 Fd
Fd
0
Fd
2 Fd
V ( f ) X ( ) ( f )d
1
n
X ( )
f d
T
T
d
d
n
20

21.

1
n
X ( ) f d
Td n
Td
1
n
X( f )
Td n
Td
1
X ( f nFd )
Td n
0
Fd
21

22.

V ( f ), H ( f )
Td
f
2 Fd
Fd
Fв
Fв
Fd
2 Fd
интерполирующий фильтр
Fв f Fв ,
Td ,
K( f )
0 в противном случае.
h(t ) sin t
Td
t
Td
22

23. Что мешает точному осуществлению условий теоремы отсчётов на практике?

1. Все сигналы имеют конечную длину
нефинитную спектральную плотность
2. Интерполирующий фильтр с прямоугольной
КЧХ физически неосуществим (некаузален)
3. Периодическая последовательность дельтафункций неосуществима
0 (t )
0
hˆ(t )
t
23

24. Следствие нефинитности спектральной плотности сигнала

Fв
0
Fв
Fд
Эффект наложения называется подменой
(маскировкой) частот (aliasing [ eiliəsi ])
Способы борьбы:
- увеличение частоты дискретизации
- противоподменная фильтрация нижних частот до
дискретизации, тогда ошибка восстановления
уменьшается вдвое по мощности (при идеальных
фильтрах)
24

25. Подмена частот как проявление стробоскопического эффекта

25

26. Подмена частот как проявление стробоскопического эффекта

26

27. Различие дискретизации и интерполяции

v(t ) x(t ) (t )
описывает процесс интерполяции
(восстановления аналогового
сигнала по его отсчетам)
Взятие (одиночного) отсчёта аналогового сигнала
(стробирование) описывается выражением типа
свёртки
x(t0 ) x(t ) (t t0 )dt x(t ) (t0 t )dt
x(t0 ) x(t )d (t0 t )dt
импульс должен быть значительно
короче АКФ сигнала (форма тогда
не имеет значения)
27