Линейная алгебра: Матрицы и матричный метод решения систем линейных уравнений

1. Линейная алгебра

2. Матрицы

3.

Определение: Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов,
записанная в виде:
a11 a12 ... a1n
a
(1)
a22 ... a2 n
21
A=
... ... ... ...
am1 am 2 ... amn
Числа, составляющие
матрицу, называются
элементами матрицы.
В общем случае рассматриваются матрицы с любым
количеством строк и столбцов.
Размерность матрицы (1) – m n .

4.

Кратко матрицу возможно записать следующим
образом:
A = ( aij ) i = 1, m, j = 1, n , где a ij – элементы
данной матрицы.
(
)
Элементы матрицы образуют строки и столбцы.
Первый индекс i – указывает номер строки, а второй j
– номер столбца, на пересечении которых стоит
элемент a ij .

5. Виды матриц

1. Квадратная матрица, если m = n .
2. Прямоугольная матрица, если m n.
3. Вектор-строка, если m = 1, n 1 : (a11 a12 a1n ) .
4. Вектор-столбец, если m 1, n = 1 : a11 .
a21
...
a
m1

6.

Определение: Квадратная матрица, у которой
элементы главной диагонали отличны от нуля, а все
остальные элементы равны нулю, называется
диагональной матрицей:
a11
0
A=
...
0
0
a 22
...
0
... 0
... 0
... ...
... a nn
где совокупность элементов a11 , a22 ,..., ann
называется главной диагональю матрицы.
(2)

7.

Определение: Диагональная матрица, у которой все
элементы главной диагонали равны единице,
называется единичной матрицей:
1
0
E =
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1
(3)
Определение: Две матрицы Amn = (aij ) и Bmn = (bij )
равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых
местах, то есть если aij = bij , при этом число строк и
столбцов матриц A и B должно быть одинаковым.

8. Действия над матрицами

9.

1. Суммой двух матриц A = ( aij ) и B = ( bij )
с
одинаковым количеством строк (i = 1, m, j = 1, n)
и
столбцов, называется матрица С = ( сij ) (i = 1, m, j = 1, n) ,
элементы которой определяются равенством:
cij = aij + bij .
Пример:
3 −2 4 2 −4 1
C = A + B = −1 3 5 + 5 −4 0 =
1 7 −5 −2 −3 1
3 + 2 −2 + (−4) 4 + 1 5 −6 5
= −1 + 5 3 + (−4) 5 + 0 = 4 −1 5 .
1 + (−2) 7 + (−3) −5 + 1 −1 4 −4

10.

Замечание: Аналогично определяется сумма
любого определённого числа матриц. Сложение
матриц
подчиняется
переместительному
и
сочетательному закону сложения.
A+ B = B + A
( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C
Разность двух матриц
аналогично сij = aij − bij .
С = А− B
определяется

11.

2. Произведением матрицы A = ( aij ) (i = 1, m, j = 1, n)
на постоянное число называется матрица, у которой
каждый
элемент
равен
произведению
соответствующего элемента матрицы на число .
A = ( aij ) = ( aij )
(i = 1, m, j = 1, n )
1 0 2
Пример: A = 2 1 0 , = 3.
0 2 1
1 0 2 3 1 0 3 3 2 3 0 6
A = 3 2 1 0 = 3 2 3 1 3 0 = 6 3 0 .
0 2 1 3 0 3 2 3 1 0 6 3

12.

3. Произведением матрицы A = (aij ) , имеющей m
cтрок и k столбцов, на матрицу B = (bij ) , имеющую k
строк и n столбцов называется матрица С = (сij ) ,
имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент
которой равен сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы А и j-ого столбца матрицы B:
cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + aik bkj
(i = 1, m, j = 1, n)
Замечание: При умножении матриц должно
выполняться условие согласованности: число столбцов
матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B.

13.

Пример: Найти произведение матриц A B и B A .
1 2 1
A=
3
1
2
2 −1
B = 1 3
0 1
Решение:
2 −1
1 2 1
1 2 + 2 1 + 1 0 1 (−1) + 2 3 + 1 1 4 6
A B =
1 3 =
=
3
1
2
3
2
+
1
1
+
2
0
3
(
−
1)
+
1
3
+
2
1
7
2
0
1
2 −1
2 1 + (−1) 3 2 2 + (−1) 1 2 1 + (−1) 2 −1 3 0
1 2 1
B A = 1 3
=
1
1
+
3
3
1
2
+
3
1
1
1
+
3
2
=
10
5
7
3
1
2
0 1
0 2 + 1 1
0 1 + 1 2 3 1 2
0 1 + 1 3
Таким образом, умножение матриц не подчиняется
переместительному закону умножения: AB BA .

14.

4. Умножение на единичную матрицу: умножение
квадратной матрицы A любого порядка на
соответствующую единичную матрицу не изменяет
исходной матрицы А: AЕ = ЕA = А.
a11 a12
, то
Если матрица А имеет вид: A =
a21 a22
a11 a12 1 0 a11 1 + a12 0 a11 0 + a12 1 a11 a12
=
=
A E =
a21 a22 0 1 a21 1 + a22 0 a 21 0 + a22 1 a21 a22
1 0 a11 a12 1 a11 + 0 a21 1 a12 + 0 a22 a11 a12
=
=
E A =
0 1 a21 a22 0 a11 + 1 a21 0 a12 +1 a22 a21 a22

15.

5. Транспонирование матриц.
Т
А
Определение: Матрица
называется
транспонированной по отношению к данной матрице,
если в матрице А
поменять местами столбцы и
строки.
a11 a12 a13
a11 a21 a31
Т
Если A = a21 a22 a23 , то A = a12 a22 a32
a
a
a
a
a
a
23
33
33
31 32
13

16. Матричный метод решения систем линейных уравнений

17.

Определение: Обратной для матрицы А называется
такая матрица A−1 , которая удовлетворяет условию:
(4)
А А−1 = А−1 А = Е
где Е – единичная матрица.
Для существования обратной матрицы необходимо
и достаточно, чтобы определитель квадратной
матрицы был отличен от нуля.
Обратная матрица определяется по формуле:
A11
1
−1
A =
A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32
A33
(5)

18.

Рассмотрим систему линейных уравнений и введём
обозначения:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = h1;
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = h2 ;
(6)
a x + a x + a x = h .
3
31 1 32 2 33 3
a11 a12 a13
x1
h1
A = a21 a22 a23 , X = x2 , H = h2 , где
a
x
h
a
a
33
31 32
3
3
А – матрица системы (6), Х – вектор-столбец
неизвестных переменных системы (6), Н – векторстолбец свободных коэффициентов системы (6).

19.

Тогда, используя правило умножения матриц,
систему линейных уравнений (6) можно записать в
эквивалентном матричном виде:
(7)
A X = H
Решением системы уравнений, записанной в
матричном виде (7), является вектор – столбец,
определяемый по формуле:
−1
(8)
X=A H

20.

Для того чтобы убедиться, что полученное
выражение (8) является решением системы линейных
уравнений (7), сделаем подстановку:
A X = A A−1 H = E H = H .
Пример: Решить систему уравнений матричным
методом:
x + 2 y + z = 1;
2 x + y + z = −1;
x + 3 y + z = 2.

21.

Решение:
1 2 1
x
1
Введем обозначения: A = 2 1 1 , Х = y , Н = −1 .
1 3 1
z
2
Найдем обратную матрицу:
1 2 1
= 2 1 1 = 1 0 обратная матрица существует.
1 3 1

22.

Найдем алгебраические дополнения каждого
элемента:
1+1 1 1
2+1 2 1
A11 = (−1)
= −2, A21 = (−1)
= 1,
3 1
3 1
3+1 2 1
1+ 2 2 1
A31 = (−1)
= 1, A12 = (−1)
= −1,
1 1
1 1
2+ 2 1 1
3+ 2 1 1
A22 = (−1)
= 0, A32 = (−1)
= 1,
1 1
2 1
1
1+3 2
2 +3 1 2
A13 = (−1)
= 5, A23 = (−1)
= −1,
1 3
1 3
2
3+3 1
A33 = (−1)
= −3.
2 1

23.

Обратная матрица имеет вид:
−2 1 1
A−1 = −1 0 1
5 −1 −3
Найдем решение системы:
−2 1 1 1 −2 − 1 + 2 −1
X = A−1 H = −1 0 1 −1 = −1 + 0 + 2 = 1 .
5 −1 −3 2 5 + 1 − 6 0
Таким образом, решением системы является тройка
чисел:
x = −1; y = 1; z = 0.