05 VA-3 2026

1.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
СУЗ
СТРОИТЕЛЬСТВО
1 семестр
2026

2. 2. Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.1 Векторы, общие понятия
2.2 Скалярное произведение векторов
2.3 Векторное произведение векторов
2.4 Смешанное произведение векторов
2.5 Линии на плоскости и их уравнения
2.6 Прямая линия на плоскости

3. 2.5 Линии на плоскости и их уравнения

2.5 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
(
)
Уравнение вида F x; y = 0 называется уравнением линии L в
декартовой системе координат Oxy, если:
1) координаты х и у любой точки М(х;у) L удовлетворяют этому
уравнению,
2) координаты х и у любой точки N(х;у) L не удовлетворяют ему.
М(х;у) - текущая точка линии L
х и у - текущие координаты
Пусть заданы две линии
L1 : F1 ( x; y ) = 0 и L2 : F2 ( x; y ) = 0.
Их точки пересечения можно найти,
решив систему уравнений:
F1 ( x; y ) = 0,
F2 ( x; y ) = 0
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не
пересекаются.

4. 2.5 Линии на плоскости и их уравнения

2.5 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Примеры
Задана линия L : 2 x − 3 xy + 1 = 0.
Лежат ли точки А(2;2) и В(1;1) на этой линии?
2
A ( 2;2 ) : 2 22 − 3 2 2 + 1 = 8 − 12 + 1 = −3 0
B (1;1) : 2 12 − 3 1 1 + 1 = 2 − 3 + 1 = 0
Получили:
A ( 2;2 ) L, B (1;1) L.

5. 2.5 Линии на плоскости и их уравнения

2.5 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Примеры
Найти точки пересечений двух линий
L1 : x 2 + y − 4 = 0 и L2 : 4x − y + 8 = 0.
x2 + y − 4 = 0
4x − y + 8 = 0
Выразим у из второго:
y = 4x + 8
y = 4 ( −2 ) + 8 = 0
Сложим оба уравнения:
x 2 + y − 4 + 4x − y + 8 = 0
x 2 + 4x + 4 = 0
2
x
+
2
(
) =0
x = −2
Получили одну точку пересечения: K
( −2;0 ) .

6. 2.5 Линии на плоскости и их уравнения

2.5 ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Линия L на плоскости задана параметрическими уравнениями, если
текущие координаты х и у точек линии выражены через
вспомогательный параметр t, т. е.
x = x ( t )
L:
t ( ; )
y = y ( t )
Пример
Уравнение окружности с заданным центром и заданным радиусом в
декартовой системе координат имеет вид
( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R 2 , где M 0 ( x0 ; y0 ) − центр, R − радиус.
2
2
Тогда параметрические уравнения окружности
x = x0 + R cos t
t 0;2 )
y = y0 + R sin t

7. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 1
y
n
M
M0
L
x
O
Вывести уравнение прямой L, проходящей через
заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.
Дано:
M 0 ( x0 ; y0 ) L, n = A; B ⊥ L
Найти: L
Решение:
Пусть M
( x; y ) L – текущая точка, тогда M 0 M = x − x0 ; y − y0
n ⊥ M 0 M критерий перпендикулярности векторов n M 0 M = 0
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0
Ax − Ax0 + By − By0 = 0
Ax + By + ( − Ax0 − By0 ) = 0
C
Ax + By + C = 0
общее уравнение прямой
n = A; B – нормальный вектор

8. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание
Ax + By + C = 0
C
1) A = 0 By + C = 0 y = −
B
C
2) B = 0 Ax + C = 0 x = −
A
A
3) C = 0 Ax + By = 0 y = − x
B
4) A = C = 0 By = 0 y = 0
уравнение
горизонтальной прямой
уравнение
вертикальной прямой
уравнение прямой, проходящей
через начало координат
y
уравнение оси Ох
5) B = C = 0 Ax = 0 x = 0
уравнение оси Оу
x
O

9. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание
Ax + By + C = 0
Из этого уравнения выразим у:
A
C
By = − Ax − C y = − x −
B
B
A
C
Пусть k = − , b = − , тогда
B
B
y = kx + b
Здесь k – тангенс угла наклона прямой
к положительному направлению оси Ох,
b – ордината точки пересечения прямой и
оси Оу.
уравнение прямой с
угловым коэффициентом
Для составления уравнения прямой по заданному углу и любой
точке M 0
( x0 ; y0 ), лежащей на прямой, используют формулу:
( y − y0 ) = tg ( x − x0 )

10. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 2
y
s
M
M0
L
O
x
Вывести уравнение прямой L, проходящей через
заданную точку, параллельно заданному вектору.
Дано:
Найти: L
Решение:
Пусть M
( x; y ) L – текущая точка, тогда M 0 M = x − x0 ; y − y0
их координаты пропорциональны
x − x0 y − y0
=
sx
sy
каноническое уравнение прямой
s = sx ; s y – направляющий вектор

11. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание
x − x0 y − y0
=t
=
sx
sy
Пусть коэффициент пропорциональности равен t, тогда
x − x0
s =t
x
y − y0 = t
s y
x − x0 = t sx
y − y0 = t s y
x = x0 + t sx
y = y0 + t s y
t ( − ; + )
параметрические уравнения прямой

12. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 3
y
M
M1
L
O M2
x
Вывести уравнение прямой L, проходящей через две
заданные точки.
Дано:
M 1 ( x1; y1 ) L, M 2 ( x2 ; y2 ) L
Найти: L
Решение:
M 1M 2 = x2 − x1; y2 − y1
Пусть M
( x; y ) L – текущая точка, тогда M 1M = x − x1; y − y1
их координаты пропорциональны
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

13. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
y
Замечание
B
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
b
A
O
x
L
a
Пусть заданные точки расположены на осях координат, т. е. отсекают на
осях заданные отрезки,
Тогда координаты этих точек: A a;0 , B 0; b .
(
x−a y−0
=
0−a b−0
−
x
y
+1 =
a
b
x−a y
=
−a
b
)
(
)
x −a y
+
=
−a −a b
x y
+ =1
a b
уравнение прямой в отрезках

14. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Обобщение
Мы получили несколько типов (форм записи) уравнений прямой на
плоскости, которые отличаются по внешнему виду:
1) общее уравнение,
2) уравнение с угловым коэффициентом,
3) каноническое уравнение,
4) параметрические уравнения,
5) уравнение прямой, проходящей через две точки,
6) уравнение прямой в отрезках.
Очевидно, что с помощью алгебраических преобразований можно легко
перейти от одной формы записи к другой.
Таким образом можно утверждать, что любой способ определения
прямой линии на плоскости приводит к уравнению первой степени
относительно х и (или) у.
Ax + By + C = 0
( числа А и В одновременно не могут быть равны нулю)

15. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Указания к составлению уравнений прямой на плоскости
Дано
Точка и перпендикулярный вектор
Выбор формулы
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0
Точка и параллельный вектор
x − x0 y − y0
=
sx
sy
Две точки
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1

16. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Взаимное расположение прямых на плоскости
Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями,
и соответствующие им нормальные векторы:
L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0
L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
n1 = A1; B1 ⊥ L1
n2 = A2 ; B2 ⊥ L2
1
Параллельность прямых
2
Совпадение прямых
3
Перпендикулярность прямых
A1 B1
=
A2 B2
A1 B1 C1
=
=
A2 B2 C2
L1 ⊥ L2 n1 ⊥ n2 n1 n2 = 0 A1 A2 + B1B2 = 0

17. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Взаимное расположение прямых на плоскости
4
Угол между прямыми
(
)
cos ( L1; L2 ) = cos n1; n2 =
( L1; L2 ) = arccos
5
n1 n2
n1 n2
A1 A2 + B1B2
A +B A +B
2
1
2
1
Пересечение прямых
A1 x + B1 y + C1 = 0
K ( xk ; yk ) :
A2 x + B2 y + C2 = 0
2
2
2
2
=
A1 A2 + B1B2
A12 + B12 A22 + B22
=
L2
K
L1

18. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 4
y
n
O
L
Найти расстояние h от заданной точки до заданной
прямой L.
M0
h
Дано:
M1
x
L : Ax + By + C = 0, n = A; B ⊥ L,
M 0 ( x0 ; y0 ) L.
Найти: h
Решение:
( x1; y1 ) L - проекция точки M 0 на прямую L,
тогда M 1M 0 = x0 − x1; y0 − y1 .
Пусть точка M 1
Рассмотрим модуль скалярного произведения векторов
(
)
M 1M 0 n :
M 1M 0 n = M 1M 0 n cos M 1M 0 , n = M 1M 0 n
=1
(векторы коллинеарны и угол между ними может быть равен 00 или 1800 )

19. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 4 (продолжение)
M 1 M 0 n = M 1M 0 n
M 1M 0 =
M 1M 0 n
n
=h
M 1M 0 n = ( x0 − x1 ) A + ( y0 − y1 ) B = Ax0 − Ax1 + By0 − By1 =
= Ax0 + By0 + ( − Ax1 − By1 ) = Ax0 + By0 + C
точка M 1 ( x1; y1 ) L , значит её координаты удовлетворяют уравнению
прямой L: Ax1 + By1 + C = 0 C = − Ax1 − By1
n = А2 + В 2
h=
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
расстояние
от точки до
прямой

20. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
h0 =
C
A +B
2
расстояние от начала координат
до прямой
2
Пример
Найти длину высоты АН треугольника АВС, если
А ( 2;4 ) , В ( −7;3) , С ( −1; −2 ) .
А
Требуется найти расстояние от точки А до
прямой ВС.
h
В
H
С

21. 2.6 Прямая линия на плоскости

2.6 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример (продолжение)
Уравнение прямой ВС, проходящей через две точки:
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
А ( 2;4 ) , В ( −7;3) , С ( −1; −2 ) .
x+7
y −3
=
−1 + 7 −2 − 3
x +7 y −3
=
6
−5
Подставим в формулу:
h=
h=
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
5 2 + 6 4 + 17
5 +6
2
2
=
10 + 24 + 17
25 + 36
−5 ( x + 7 ) = 6 ( y − 3)
−5 x − 35 = 6 y − 18
−5 x − 6 y − 35 + 18 = 0
5 x + 6 y + 17 = 0
51
=
61
длина
высоты АН
треугольника
АВС

22. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...