Zadacha_14_8 (2)

1.

СТЕРЕОМЕТРИЯ
·
СЕЧЕНИЯ
Задача 14.8
Правильная треугольная призма
Плоскость, перпендикулярная боковой грани
Три способа решения · С чертежом · Для объяснения у доски

2.

01
·
УСЛОВИЕ
02 / 11
В правильной треугольной призме ABC A₁B₁C₁ на рёбрах AA₁ и A₁B₁
отмечены точки M и K соответственно. Известно, что
A₁M = 2 · MA
A₁K = KB₁
Все рёбра призмы
равны 12
Через точки M и K проведена плоскость α, перпендикулярная грани ABB₁A₁.
Нужно:
а) Доказать, что плоскость α
проходит через вершину C₁
Задача 14.8
б) Найти площадь сечения
призмы плоскостью α
Формулировка задачи

3.

02
·
ЧЕРТЁЖ
03 / 11
Что отмечено
Точка M
на ребре AA₁
AM = 4, A₁M = 8
Точка K
середина A₁B₁
A₁K = KB₁ = 6
Плоскость α
проходит через M и K
и ⊥ грани ABB₁A₁
Сечение
треугольник MKC₁
(это докажем)
Задача 14.8
Правильная треугольная призма

4.

03
·
ПОДГОТОВКА
04 / 11
Сначала найдём длины отрезков AM, A₁M и A₁K
Точка M на ребре AA₁
Точка K на ребре A₁B₁
По условию A₁M = 2 · MA.
Обозначим MA = x.
Тогда A₁M = 2x.
По условию A₁K = KB₁.
Ребро A₁B₁ = 12.
Вся длина ребра:
AA₁ = MA + A₁M = x + 2x = 3x.
Значит точка K — середина
ребра A₁B₁.
3x = 12 ⇒ x = 4.
A₁K = KB₁ = 6.
Следовательно:
MA = 4, A₁M = 8.
Задача 14.8
Находим длины

5.

04
·
ЧАСТЬ А · ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ
05 / 11
Докажем, что C₁ лежит в плоскости α
1
Грань ABB₁A₁ — прямоугольник
Боковые грани правильной призмы — прямоугольники. Поэтому AA₁ ⊥ A₁B₁.
2
KC₁ — медиана и высота
Верхнее основание A₁B₁C₁ — равносторонний треугольник. K — середина A₁B₁, поэтому KC₁ — медиана, а значит и высота: KC₁ ⊥ A₁B₁.
3
4
KC₁ ⊥ AA₁
Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости верхнего основания. Следовательно AA₁ ⊥ любой прямой этого основания, в том числе AA₁ ⊥
KC₁.
KC₁ ⊥ грани ABB₁A₁
Прямая KC₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым грани ABB₁A₁ (A₁B₁ и AA₁). Значит KC₁ перпендикулярна всей грани ABB₁A₁.
5
Задача 14.8
Вывод
Плоскость α проходит через точку K и перпендикулярна грани ABB₁A₁. Прямая, проходящая через K и перпендикулярная этой грани,
целиком лежит в α. Поэтому KC₁ ⊂ α, а значит C₁ ∈ α.
Самый наглядный

6.

05
·
ЧАСТЬ А · МЕТОД КООРДИНАТ
06 / 11
Введём прямоугольную систему координат
A (0; 0; 0)
B (12; 0; 0)
C (6; 6√3; 0)
A₁ (0; 0; 12)
B₁ (12; 0; 12)
C₁ (6; 6√3; 12)
M (0; 0; 4)
K (6; 0; 12)
Почему α имеет такой вид
Грань ABB₁A₁ лежит в плоскости y = 0.
Её нормаль — вектор (0; 1; 0).
Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное
произведение их нормалей равно нулю.
Пусть нормаль к α — (a; b; c).
Тогда a·0 + b·1 + c·0 = 0 ⇒ b = 0.
Уравнение α: a x + c z = d.
Подставляем M(0;0;4) и K(6;0;12):
получаем 4x − 3z = −12.
Проверка для C₁(6; 6√3; 12):
4·6 − 3·12 = 24 − 36 = −12.
Точка удовлетворяет уравнению ⇒ C₁ ∈ α.
Задача 14.8
Самый строгий

7.

06
·
ЧАСТЬ А · ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ
07 / 11
Покажем, что вектор KC₁ перпендикулярен грани ABB₁A₁
1. Грань ABB₁A₁ задаётся двумя линейно независимыми векторами: A₁B₁ и AA₁.
2. В равностороннем треугольнике A₁B₁C₁ медиана KC₁ является высотой, поэтому KC₁ ⊥ A₁B₁ (скалярное произведение
равно нулю).
3. Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости верхнего основания, следовательно AA₁ ⊥ KC₁.
4. Вектор KC₁ перпендикулярен двум пересекающимся векторам грани ABB₁A₁. Значит он перпендикулярен всей
плоскости этой грани.
5. Плоскость α проходит через точку K и перпендикулярна грани ABB₁A₁. Поэтому любая прямая, проходящая через K и
перпендикулярная грани, лежит в α. В частности, KC₁ ⊂ α ⇒ C₁ ∈ α.
Задача 14.8
Кратко и строго

8.

07
·
ЧАСТЬ Б · ПЛОЩАДЬ СЕЧЕНИЯ
08 / 11
Сечение — треугольник MKC₁. Найдём его площадь.
Координаты
Векторы
Длины сторон
M (0; 0; 4)
K (6; 0; 12)
C₁ (6; 6√3; 12)
MK = (6; 0; 8)
KC₁ = (0; 6√3; 0)
|MK| = √(36+64) = 10
|KC₁| = 6√3
Главное наблюдение
Скалярное произведение:
MK · KC₁ = 6·0 + 0·6√3 + 8·0 = 0.
Значит угол при вершине K прямой. Треугольник MKC₁ — прямоугольный.
Площадь: S = ½ · |MK| · |KC₁| = ½ · 10 · 6√3 = 30√3.
Задача 14.8
Основной способ

9.

08
·
ДРУГИЕ СПОСОБЫ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ
09 / 11
Способ 1. Векторное произведение
MK × KC₁ = | i j k |
|6 0 8|
| 0 6√3 0 | = (−48√3 ; 0 ; 36√3)
|MK × KC₁| = √[(48√3)² + (36√3)²] = √[3·(2304 + 1296)] = √(10800) = 60√3
S = ½ · |MK × KC₁| = ½ · 60√3 = 30√3.
Способ 2. Геометрический (без координат)
В прямоугольнике ABB₁A₁ рассмотрим прямоугольный треугольник AMK′,
где K′ — проекция K на AA₁ (но проще через координаты или Пифагора в пространстве).
MK² = (A₁K)² + (A₁M)² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ⇒ MK = 10.
KC₁ — высота равностороннего треугольника со стороной 12: KC₁ = (√3/2)·12 = 6√3.
Угол при K прямой (как показано выше) ⇒ S = ½ · 10 · 6√3 = 30√3.
Задача 14.8
Для полноты

10.

09
·
ОТВЕТ
10 / 11
Ответ
а) Плоскость α проходит через вершину C₁.
(Доказано геометрическим, координатным и векторным способами.)
б) Площадь сечения равна 30√3
Сечение — прямоугольный треугольник MKC₁
с катетами MK = 10 и KC₁ = 6√3.
Задача 14.8
Что писать в тетрадь

11.

10
·
КАК ОБЪЯСНЯТЬ У ДОСКИ
11 / 11
Рекомендуемый порядок объяснения
1
Чертёж
Сначала нарисуй призму. Отметь M (на высоте 4 от A) и K (середина верхнего ребра). Проведи линии MK, KC₁, C₁M — это сечение.
2
3
Доказательство (а)
Лучше всего геометрический способ: KC₁ — высота верхнего основания ⇒ ⊥ A₁B₁; AA₁ ⊥ основанию ⇒ ⊥ KC₁. Значит KC₁ ⊥ всей грани.
Поэтому KC₁ лежит в α.
Площадь (б)
Покажи, что угол при K прямой (через скалярное произведение или из геометрии). Тогда сразу S = ½ · 10 · 6√3 = 30√3.
4
Если спросят другой способ
Можно быстро показать координатный: уравнение плоскости 4x − 3z = −12 и подстановка C₁.
5
Что подчеркнуть
Главная идея задачи — свойство перпендикулярности плоскости и грани. Всё остальное следует из него.
Задача 14.8
Подсказки