Занятие №24.Системы линейных алгебраических уравнений — копия

1. Занятие №24. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

2.

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + a x + ... + a x = b
21 2
22 2
23 3
2n n
2
.......................................................
am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm

3.

x1 , x2 ,..., xn - неизвестные;
Здесь
aij
где
bi
- коэффициенты при неизвестных,
i
j
- номер уравнения,
- номер неизвестного;
- свободные члены (правые части).

4.

Система называется неоднородной,
если не все bi
равны нулю.
Система называется однородной,
если все bi
равны нулю.

5.

Матрица системы
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A=
... ... ...
am1 am 2 am 3
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

6. Расширенная матрица

a11 a12
a
a
21
22
A =
... ...
a
a
m1 m 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
amn
b1
b2
...
bm

7.

Решением системы будем называть
упорядоченный набор чисел
x1 , x2 ,..., xn
обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.

8.

Решить систему — значит найти
все ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система имеет только одно
решение, то она
определенной.
называется

9.

Если система
не
имеет решений, то
она называется несовместной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если
число
уравнений
системы
совпадает с числом неизвестных , то
система
называется
квадратной.

10.

Две системы, множества
которых
совпадают,
решений
называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение
превращает
систему
систему, эквивалентную
в
которого
новую
исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.

11. Метод Гаусса

12.

Рассмотрим квадратную систему:
x1 − x2 + 3x3 + 2 x4 = 11;
4 x + 6 x − x
= −1;
1
2
3
3
x
+
2
x
+
2
x
−
x
=
3
;
1
2
3
4
5 x1 − x2 + 2 x3 + x4 = 2.

13.

Исходную систему можно представить в виде таблицы:
(-5)
(-4)
(-3)
1
−
1
3
2
11
4 6 − 1 0 − 1
3 2 2 − 1 3
1 2
5 −1 2

14.

1
0
0
0
−1
3
10 − 13
5 −7
4 − 13
2
11
− 8 − 45 (-1) (-2)
− 7 − 30 2
− 9 − 53 5

15.

1
−1
3
0
10
− 13
0
0
1
0
0
39
11
− 8 − 45
6
15
29 175
2

16.

1
−1
3
0
10
− 13
0
0
1
0
0
0
11
− 8 − 45
6
15
205 410
2

17.

Полученная матрица соответствует системе:
x1 − x2 + 3x3 + 2 x4 = 11;
10 x − 13x − 8 x = −45;
2
3
4
x
−
6
x
=
15
;
3
4
205 x4 = 410.

18. Матричный метод

19.

С помощью этого метода можно
решать квадратные системы
линейных уравнений

20.

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + a x + ... + a x = b
21 2
22 2
23 3
2n n
2
.......................................................
an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ... + ann xn = bn

21.

Систему можно записать в виде
где
A X = B
a11 a12
a21 a22
A=
... ...
an1 an 2
a13
a23
...
an 3
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

22.

x1
x2
X =
...
xn
b1
b2
B=
...
bn

23.

Если матрица
A
невырожденная, то
можно выполнить преобразования
A A X = A B
−1
−1
X = A B
−1

24. Метод Крамера

25.

Если определитель системы
n
линейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то
эта система является определенной
и её единственное решение
находится по формуле

26.

i
xi =

27.

a11
a 21
=
...
a n1
a12
a 22
...
an 2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn

28.

Здесь
i
– определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.

29.

x1
A11 A21
x2 1 A12 A22
=
... ... ...
xn
A1n A2 n
... An1 b1
... An 2 b2
... ...
...
... Ann bn

30.

A11 b1 + A21 b2 + ... + An1 bn
x1 =
b1
b2
...
bn
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
= A11 b1 + A21 b2 + ... + An1 bn
... ...
... ann

31.

Если
=0
i 0
и по крайне мере один из определителей
то система не имеет решения.
=0
=0
Если
и
, система либо не
i
имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

32. Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и

Теорема
Кронекера-Капелли
Для того чтобы система
n
m
неоднородных линейных уравнений
с
неизвестными была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
r ( A) = r ( A )

33.

Замечание. Пусть система совместна и
-
(
)
(
)
r
A
=
r
A
=
k
если число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет
единственное решение;
-
если число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет
множество решение.

34. Однородные системы

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,
a x + a x + ... + a x = 0,
21 1
22 2
2n n
..........
..........
..........
..........
.....
am1x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0.

35. Теорема о совместности однородной системы

Для того чтобы однородная система
линейных уравнений имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.