Площадь сечения в прямоугольном параллелепипеде. Задачи

1.

Учитель математики
МБОУ СОШ № 25 г. Крымска Е.В. Малая

2.

Задача №1:
В прямоугольном параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1 известны ребра АВ = 6, АД = 4 АА1 = 10. Точка F
принадлежит ребру ВВ1 и делит его в отношении 2 : 3, считая
от ( ) В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки А, F и С1.
Стандартная ошибка учащихся
D1
С1
А1
В1
10
F
D
4
А
6
В
С

3.

Задача №1:
В прямоугольном параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1 известны ребра АВ = 6, АД = 4 АА1 = 10. Точка F
принадлежит ребру ВВ1 и делит его в отношении 2 : 3, считая
от ( ) В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки А, F и С1.
D1
Отрезок С1Е ││ АF,
АЕ││FС1
Искомое сечение А1
АFС1Е параллелограмм
С1
В1
Е
10
F
D
4
А
6
В
С

4.

Из ΔАВF:
Из ΔС1В1F:
АF АВ2 ВF 2 2 13
С1 F С1В1 В1F 2 2 13
2
Значит, сечение АFС1Е – ромб с диагональю
С1
АС1 АВ 2 ВС 2 СС1 2 38
2
D1
Е
F
О
С1
А1
В1
6
Е
А
2
АС1
2
ЕF АF
2 14
4
1
S AC1 EF 4 133
2
10
F
D
4
А
4
6
В
С

5.

Задача №1:
В прямоугольном параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1 известны ребра АВ = 6, АД = 4 АА1 = 10. Точка F
принадлежит ребру ВВ1 и делит его в отношении 2 : 3, считая
от ( ) В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки А, F и С1.
D1
2 способ
Площадь ортогональной
А1
проекции многоугольника
равна произведению
площади этого
многоугольника на косинус 10
угла между плоскостями
С1
В1
Е
F
D
4
А
6
В
С

6.

Нахождение площади многоугольника через
площадь его ортогональной проекции легко
иллюстрируется таким рисунком:
С
SАВС=
А
С1
SАВС1
соs
В
План решения такой:
1) Строим сечение.
2) Находим его ортогональную проекцию на
плоскость основания.
3) Находим площадь ортогональной проекции.
4) Находим площадь сечения.

7.

Задача №1:
В прямоугольном параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1 известны ребра АВ = 6, АД = 4 АА1 = 10. Точка F
принадлежит ребру ВВ1 и делит его в отношении 2 : 3, считая
от ( ) В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки А, F и С1.
SАFС1Е=
D1
SАВСД
С1
соs
А1
Угол между
плоскостями равен 10
углу между
прямыми,
перпендикулярным
и к этим плоскостям
А
В1
Е
F
D
4
6
В
С

8.

Угол между плоскостями равен углу между ненулевыми
векторами, перпендикулярными к этим плоскостям, т.е.
между векторами нормалей
Уравнение плоскости АFС
1 Е : 4х 9у 6z 0
вектор нормали n 4;9;-6 n 16 81 36 133
D1
вектор нормали ДД 1 0;0;10
к плоскости АВСД
соs α
ДД 1 10
А1
n ДД 1
n ДД 1
С1
6
соs
133
В1
Е
10
F
D
S AFC 1 E
S ABCD
4 133
cos α
4
А
6
В
С

9.

Задача №2:
В прямоугольном параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1 известны ребра АВ = 16, ВС = 12, АА1 = 20.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через вершину Д1 и середины ребер АВ и ВС.
Найдите площадь полученного сечения.
D1
С1
А1
В1
F
D
С
А
М
В

10.

1. ( ) M ( ) N.
Построение:
2. МN ДC= ( )У
3. Д1У СС1 = ( )К
С1
D1
4. ( ) N ( ) K,
5. МN ДА= ( )Х
6. Д1Х АА1 = ( )L
А1
7. ( ) L ( ) М,
В1
К
F
D
L
ХА
С
М
В
У
8. MLД1КN –
искомое сечение

11.

Вычисление угла:
Найдем косинус угла между плоскостями:
Составим уравнение плоскости сечения:
15х – 20у + 18z – 120=0
С1
D1
вектор нормали n 15;-20;18
А1
n 949
В1
К
вектор нормали ДД 1 0;0;20
к плоскости АВСД
D
L
А
F
М
С
соs α
Н
В
n ДД 1
n ДД 1
ДД 1 20
18
соs
949

12.

Вычисление площади:
Вычислим площадь проекции:
16
С
D
S
12
А
В
М
Sсечения=
сеч
S АВСД S МВN
S
сеч
168
18
соs
949
Sпроекции
соs
28 949
S сеч
3