Определенный интеграл

1.

2.

Пусть
на
отрезке
[a,b]
задана
неотрицательная функция y=f(x).
Требуется найти площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y=f(x),
прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0.
Рассмотрим
ломаную,
расположенную
достаточно близко к кривой.

3.

Фигура под ломаной состоит из трапеций и
ее площадь равна сумме площадей всех
трапеций:
S Sтрап
Причем,
площадь
под
кривой
будет
приближенно равна площади под ломаной,
если ломаная достаточно близко подходит к
кривой.

4.

y
y f (x)
a
b x

5.

За искомую площадь под кривой берут
предел площади под ломаной при условии,
что ломаная неограниченно приближается
к кривой.
Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных
отрезков точками х0, х1, …хn .
На каждом из отрезков выберем точку ξi , и
найдем значение функции в этой точке
f ( i )
Положим
xi xi xi 1

6.

Сумму вида
n
f ( ) x
i 1
i
i
называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .

7.

Интегральная сумма зависит от способа
разбиения отрезка и выбора точек ξi
Каждое отдельное слагаемое в интегральной
сумме
f ( i ) xi
равно площади
сторонами
прямоугольника
Si
f ( i )
и
xi
со

8.

y f (x)
y
f ( 3 )
f ( 2 )
f ( 1 )
x0
1 x1 2 x2
3 x3
x

9.

Наибольший из отрезков разбиения
xi 1 , xi
обозначим как
max xi
Вся интегральная сумма будет равна
n
S Si
i 1

10.

Если
существует
конечный
предел
интегральной суммы при max xi 0
не зависящий от способа разбиения отрезка
[a,b] и выбора точек ξi, то он называется
определенным интегралом от функции
y=f(x) на отрезке [a,b].
b
n
lim
max xi 0
f ( ) x f ( x)dx
i 1
i
i
a

11.

Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].
Числа a и b называются нижним и верхним
пределом, соответственно.

12.

Неопределенный интеграл
f ( x)dx
есть семейство функций, а определенный
b
интеграл
f ( x)dx
a
есть определенное число.
По определению предполагается, что а < b.
Положим
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx

13.

С учетом этого несущественно, какой предел
больше или меньше.
Если а = b, то
a
a
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
2 f ( x)dx 0
a
a
f ( x)dx 0
a