Интеграл типа Коши. Теорема Мореры

1.

§10. Интеграл типа Коши.
Теорема Мореры.
п.1. Интеграл типа Коши.
Пусть Г — произвольная кусочно-гладкая
кривая, замкнутая или незамкнутая.
Пусть функция f (z ) непрерывна вдоль Г.
Рассмотрим интеграл
1
f ( )
d .
2 i z
(1)

2.

Выражение (1) имеет определенное значение
в каждой точке z, z .
Поэтому, оно определяет однозначную
функцию
1
f ( )
F ( z)
2 i z
d , z .
Если Г — замкнутая кривая, и f (z ) —
аналитическая функция как внутри Г, так и на
Г, то
f ( z ), z внутри ,
F ( z)
0,
z вне .
В этом случае (1) называется интегралом
Коши.

3.

При общих вышеуказанных предположениях
выражение (1) называется интегралом типа
Коши.
Теорема 1.
Функция F (z ) , определенная интегралом типа
Коши (1), аналитична во всякой односвязной
области G, не содержащей точек кривой Г, и
для ее производной имеет место формула
1
f ( )
F ' ( z)
d
.
2 i ( z ) 2

4.

Доказательство.
Пусть z — произвольная точка области G;
z — такое, что z z G.
Рассмотрим приращение
1
f ( )
1 f ( )
F ( z z ) F ( z )
d
d
2 i z z
2 i z
z
z
f ( )
d .
2 i ( z z )( z )
z z
G

5.

Тогда
F ( z z ) F ( z )
1
f ( )
lim
lim
d
z 0
z 0 2 i ( z z )( z )
z
или
1
f ( )
F ' ( z)
d
,
2
2 i ( z )
если возможен предельный переход под
знаком интеграла в правой части.
Обоснуем этот предельный переход.

6.

Покажем, что разность
1
f ( )
1
f ( )
R
d
d
2
2 i ( z z )( z )
2 i ( z )
z
f ( )
d
2 i ( z z )( z ) 2
стремится к нулю при
z 0.
Так как функция f (z ) непрерывна вдоль Г, то
| f ( ) | M , .
Поэтому,
| z | M
| R |
2
| d |
| z z | | z |
.
2

7.

Обозначим через 2d расстояние от точки z до
кривой Г, т.е.
2d : min | z | .
Тогда
| z | d , ,
и, кроме того, при достаточно малых
| z z | d .
Поэтому,
| z | M
| R |
2
где l — длина Г.
| d |
d
3
| z | Ml
2 d
3
,
z

8.

Значит,
lim R 0.
z 0
Последнее равенство обосновывает
предельный переход, что и завершает
доказательство теоремы.

9.

Теорема 2.
Функция F (z ) , определенная интегралом типа
Коши (1), имеет в каждой точке z, лежащей вне
кривой Г, производные всех порядков.
При этом имеют место формулы
F
( n)
n!
f ( )
( z)
d
,
n
N
.
2 i ( z ) n 1
Доказательство.
Методом математической индукции.

10.

п.2. Бесконечная дифференцируемость
аналитической функции.
Теорема 3.
Каждая функция f (z ) , аналитическая в
области G, имеет производные всех порядков
в этой области, т.е. бесконечно
дифференцируема в ней.

11.

Доказательство.
Пусть z — произвольная точка области G;
Г — кусочно-гладкий замкнутый контур,
окружающий точку z и лежащий со всеми
своими внутренними точками в области G.
С одной стороны, по
интегральной теореме
Коши
z
G
1
f ( )
f ( z)
d .
2 i z

12.

С другой стороны, на основании теоремы 2
функция f (z ) , определяемая интегралом типа
Коши, дифференцируема в точке z
произвольное число раз.
В силу произвольности выбора точки z
заключаем, что функция f (z ) имеет
производные всех порядков повсюду в
области G.

13.

Замечание 1.
Для производных аналитической функции
справедливы формулы
f
( n)
n!
f ( )
( z)
d
,
n
N
,
2 i ( z ) n 1
которые называются формулами Коши для
производных.
Замечание 2.
Любая производная аналитической функции
является аналитической функцией.

14.

п.3. Обращение интегральной теоремы.
Теорема 4 (Морера).
Пусть
G — односвязная область;
f (z ) — непрерывная в G функция;
для любого кусочно-гладкого замкнутого
контура Г, G, справедливо равенство
f ( )d 0.
Тогда
функция f (z ) является аналитической в
области G.

15.

Доказательство.
Из условия теоремы следует, что интеграл
z
f ( )d
z0
не зависит от пути, соединяющего точки z 0 и z.
По теореме 1 §9 функция z
F ( z)
f ( )d
z0
является аналитической в области G, причем
F ' ( z ) f ( z ).
Для завершения доказательства осталось
применить замечание 2.