Предел функции в бесконечности

1. Предел функции в бесконечности

С понятием предела последовательности
аn f (n)
y f (x)
тесно связано понятие функции
в бесконечности.

2.

Этот предел функции обозначается
lim f ( x) A или f ( x) A при x .
x
С помощью логических символов
определение запишется
lim f ( x) A
x
( 0) S S ( ) 0 x : x S
f x A .

3. Геометрический смысл предела функции в бесконечности.

y
y f (x)
A
A
2
A
0
x
S
lim f ( x) A ( 0) S S ( ) 0 x : x S
x
f x A .

4.

Замечание. Приведенное выше
определение предела при
x
предполагает неограниченное возрастание
независимой переменной
x
по абсолютной
величине. Можно сформулировать понятие
предела при
x . В первом
неравенство f x A .
x
случае основное
и
выполняется для всех x S , а во втором
случае для всех x S

5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение 2. Число A называется пределом (по
Коши) функции y f x в точке a (или при x a ),
если для любого сколь угодно малого положительного
числа найдется отвечающее ему положительное
число ( ) такое, что для всех значений аргумента
х D ( f ) , удовлетворяющих условию 0 x a ,
справедливо неравенство:
f x A .
Для обозначения предела используют символику:
y f (x)
(или
f x A при x a ).

6. Геометрический смысл предела функции в точке

y
y f (x)
A
2
A
A
0
lim f ( x) A
x a
a
0
a
a
x
, x a a x a
A 0 y A 0.

7.

Замечание 1. Определение предела не требует
существования функции в самой точке a . Т.е. x
стремится к a , но не достигает значения a .
Замечание 2. Если при стремлении x к a
переменная x принимает лишь значения меньшие
a , или, наоборот, лишь значения, большие a и
при этом функция y f (x) стремится к некоторому
числу A , то говорят об односторонних пределах
функции y f (x) соответственно слева
lim f x A
x a 0
и справа
lim f x A.
x a 0

8. Односторонние пределы

Определение 3. Число A называется левым (правым)
пределом функции y f x в точке a (или при
x a ), если для любого сколь угодно малого
положительного числа найдется отвечающее ему
положительное число такое, что для всех значений
аргумента х D ( f ) , удовлетворяющих условию
a x a ( a x a ),справедливо неравенство:
f x A .
Используют символику:
А lim f x f a 0
для правого предела,
А lim f x f a 0
для левого предела.
x a 0
x a 0

9.

Определение 4. Говорят, что функция y f x
имеет в точке a предел или ,
если для любого положительного числа M
можно
указать отвечающее ему положительное число
такое, что для всех значений аргумента х D ( f ) ,
удовлетворяющих условию 0 x a ,
справедливо неравенство:
f x M f x M или f x M .
При этом используют символику:
lim f x
x а
lim f x ,
x а
lim f x .
x а

10. Бесконечно малые величины их свойства

Определение 4. Функция x называется
бесконечно малой величиной при x a ,
если ее предел равен нулю:
lim x 0.
x a
Теорема 1. Если функция y f x имеет
при x a ( x ) предел, равный A , то ее
можно представить в виде суммы этого числа
A и бесконечно малой величины x при
x a x , т.е. f ( x) A ( x).

11.

Теорема 2. Если функцию y f x
можно представить как сумму числа A и
бесконечно малой величины x при
x a ( x ) , то число A есть предел
этой функции при x a ( x ) , т.е.
lim f x A.
x a ( )

12. Основные свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа
бесконечно малых величин есть величина
бесконечная малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на
ограниченную функцию есть величина бесконечно
малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины
на функцию, предел которого отличен от нуля, есть
величина бесконечно малая.

13. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА

А lim f x А f (a 0) f (a 0)
1)
2) Справедливо равенство (первый замечательный предел):
x a
sin x
lim
1
x 0
x
lim ( x) 0
;
sin x
lim
1
x a
x
3) Если
4) Справедливо равенство (второй замечательный предел):
то
x
1
1x
lim 1 e ( или lim 1 x e ),
x
x 0
x
где
e - основание натурального логарифма,

14.

5) Если
lim x 0, то
x a
1 x
lim 1 x
x a
e.
Если существуют конечные пределы:
lim f1 x А,
x a
lim f 2 x B.
x a
то справедливы следующие равенства:
6)
lim f1 x f 2 x lim f1 x lim f 2 x ;
7)
lim c f1 x c lim f1 x , если
8)
x a
x a
x a
x a
c const;
x a
lim f1 x f 2 x lim f1 x lim f 2 x ;
x a
x a
x a

15.

9)
lim
x a
10)
f1 x
f2 x
lim f1 x
x a
lim f 2 x
если lim f x 0 ;
x a
2
x a
lim f1 x lim f1 x k , где k R.
k
x a
x a

16.

а) Если при замене " x " на " а " под знаком предела
получают определенное число, то оно и будет
значением предела: lim f x f a
x a
б) Если при замене " x " на " а " под знаком предела
получают
с
0 , с 0; с , с ; с , с 0; ,
где c число, то или ,
в) Если при замене " x " на " а "под знаком предела получают
0
0 ;
0
0
;
0
;
;
0
;
1
;
,
то говорят, что под знаком предела неопределенность.

17.

В таком случае задача вычисления предела
lim f x .
x a
сводится к раскрытию неопределенности:
тождественными преобразованиями «убирают»
неопределенность, если это возможно, и вычисляют
предел.

18. Примеры

П р и м е р 1.
Р е ш е н и е:
5x 2
lim
.
Вычислить предел:
x 4 2 x 3
5 x 2 5 4 2 22
lim
2 2.
x 4 2 x 3
2 4 3 11
П р и м е р 2. Вычислить предел:
2 3
lim х .
x 2 1
2 3 0 3
Р е ш е н и е: lim х
3 3.
x 2 1
0 1
х
х

19.

П р и м е р 3. Вычислить предел:
Р е ш е н и е:
2х 3
lim х
.
x 2 1
3
1 х
х
2 3
2 1.
lim
lim х
x 2 1
x 1 1
2х
П р и м е р 4. Вычислить: предел
3x 2 5 x 1
lim 3
.
x 4 x x 1
.
Р е ш е н и е:
3x 2 5 x 1
3
3x 2 5 x 1
x
lim
lim
3
x 4 x 3 x 1
x
4x x 1
x3

20.

3
lim
x
5
1
x 0 0.
4
1
4 2 3
x
x
x
2
x
1
3
О т в е т: 0.
x2 9
.
2
П р и м е р 5. Вычислить предел: lim
x 3 2 x 3 x 9
x2 9
x 3 x 3
0
lim
Р е ш е н и е: lim
x 3 2 x 2 3 x 9
x
3
2 x 3 x 1,5
0
x 3 3 3
2 2
lim
.
x 3 2 x 3
2 3 3 3 3

21.

П р и м е р 7. Найти предел:
sin 5 x
lim
x 0
4x
Р е ш е н и е:
5 sin 5 x 5 sin 5 x
sin 5 x
5 sin 5 x
; lim
lim
;
x
0
x
0
4 5x
4 5x
4x
4 5x
Согласно свойству 7, имеем
5 sin 5 x 5
sin 5 x 5
lim
lim
.
x 0 4
x
0
5x
4
5x
4
Ответ:
5
.
4

22.

2
lim 1
x
x
П р и м е р 8. Найти предел:
Р е ш е н и е:
2
1
x
x 5
x 5
.
2
x
5
2 2
2
1 . 1 .
x
x
Согласно свойству 8, имеем
2
lim 1
x
x
x 5
2
x
5
2 2
2
lim 1 . 1
x
x
x
2
x
5
2 2
2
lim 1 . lim 1 e 2 1 e 2 .
x
x x
x
Ответ: e 2 .

23. Непрерывность функции.

О п р е д е л е н и е 1. Функция y f x
называется непрерывной в точке a ,
принадлежащей области определения D ( f ) , если
функция y f x имеет в точке a конечный
предел, равный числу f а , то есть
lim f x f a .
x a
О п р е д е л е н и е 2. Функция y f x
называется непрерывной справа (слева) в
точке a из D ( f ), если в точке a существует
конечный правый (левый) предел функции,
равный числу f а , то есть
f a 0 lim f ( x) f a ;
x а 0
f ( x) f a .
f a 0 xlim
а 0

24.

Из свойств предела вытекает следующее
утверждение.
Т е о р е м а 1. Функция y f x
непрерывна в точке a тогда и только тогда,
когда в этой точке справедливы равенства:
f a f a 0 f a 0 .

25.

Пример: Рассмотрим функцию y f x,
1
1

26.

О
п р е д е л е н и е 3.
Функция
y f x
называется непрерывной в интервале
b; c
,
если она непрерывна в любой его точке.
Функция
y f x называется непрерывной
на отрезке b; c , если она непрерывна в
интервале b; c , непрерывна справа в точке
непрерывна слева в точке
x b, x с
.

27. Точки разрыва функции

О п р е д е л е н и е . Точка
х а,
являющаяся предельной точкой множества D ( f ),
называется точкой разрыва функции
если в точке
a
y f x
эта функция либо не
определена, либо определена, но нарушено
условие непрерывности.
,

28.

О п р е д е л е н и е. Точка разрыва x a называется
точкой устранимого разрыва функции y f x , если в
этой точке предел функции f x существует, но f x в
точке a либо не определена, либо значение f а не
совпадает с найденным пределом, то есть
Пример: Функция
f a 0 f a 0 f a .
sin x
y
x
0
Имеет в точке х=0 устранимый разрыв, т.к:
при х =0
при х =0
у a 0 у a 0 1. y (0) 0

29.

О п р е д е л е н и е . Точка разрыва x a называется
точкой разрыва первого рода функцииy f x , если в этой
точке функция имеет конечные, но не равные друг другу
правый и левый пределы, то есть: f a 0 f a 0 .
Пример:
1 при x 0
y sgn x 0 при x 0
1 при x 0
«знак» числа х имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т.к:
у 0 0 1, у 0 0 1, у (0) 0

30.

О п р е д е л е н и е . Точка разрыва
x a
называется точкой разрыва второго рода функции y f x ,
если в этой точке функция f x не имеет, по крайней мере,
одного из односторонних пределов или хотя бы один из
односторонних пределов равен бесконечности.
у
y sgn x
1
0
х
-1

31.

1
Пример. Функция y имеет в точке х=0 разрыв второго
x
рода, так как в данном случае число y(0) не определено
у 0 0 , у 0 0
у
0
х

32.

Т е о р е м а 1. Если функция y f x непрерывна в точке
и существует конечный предел lim f 1 x , то справедливо
x a
равенство:
x a
lim f f1 x f lim f1 x
x a
Т е о р е м а 2. Сумма, разность, произведение, частное,
суперпозиция конечного числа непрерывных функций (то
есть любая элементарная функция) есть функция,
непрерывная во всех точках области определения.
a