Решение геометрических задач повышенного уровня сложности методом координат

1.

Решение геометрических
задач повышенного уровня
сложности методом координат

2.

…Геометрия – это просто алгебра,
воплощенная в фигурах.
Софи Жермен (1776-1831)
Выбираем в пространстве систему координат из
соображений удобства выражения координат и
наглядности изображения.
Находим координаты необходимых для нас точек.
Решаем задачу, используя основные задачи метода
координат.
Переходим
от аналитических соотношений к
Журнал «Математика» № 01/2013
геометрическим.

3.

Прямоугольный параллелепипед
z
A1
D1
A
B1
а
А
D
y
C1
с
b
A
а
D
b
B
y
C
x
А(0; 0; 0)
B(b; 0; 0)
Журнал «Математика» № 01/2013
А1(0; 0; с) B1 (b; 0; с)
B
C
x
C(b; a; 0)
C1 (b; a; с)
D(0; a; 0)
D1 (0; a; с)

4.

Правильная треугольная призма
z
А1
C1
А
C
X
B1
y
600
b
А
x
а
C
y
а
Y
B
x
B
А(0; 0; 0)
А (0; 0; b)
1
Журнал «Математика»
№ 01/2013
3
a; 0,5a; 0)
2
B1 ( 3 a; 0,5a; b)
2
B(
C(0; a; 0)
C1 (0; a; b)

5.

Правильная шестиугольная призма
А1
z
F1
а
А
E1
B1
b
X
B
Y
E
F
А
y
B
C
E
D
x
а
x
y
300
D1
C1
C
F
D
А(0; 0; 0)
А1(0; 0; b)
D( 3 a; a; 0)
Журнал «Математика» № 01/2013
D1 ( 3a; a; b)
3
2
B( a; –0,5a; 0)
B1 ( 23 a; –0,5a; b)
Е( 23 a; 1,5a; 0)
Е1 ( 23 a; 1,5a; b)
C( 3а; 0; 0)
C1 ( 3 а; 0; b)
F(0; a; 0)
F1 (0; a; b)

6.

Правильная четырехугольная пирамида
z
M
а
A
D
y
A
h
D
а
O
y
O
x
B
B
C
C
x
А(0; 0; 0)
Журнал «Математика» № 01/2013
D(0; a; 0)
B(a; 0; 0)
M(0,5а; 0,5а; h)
C(a; a; 0)

7.

Правильная треугольная пирамида
z
M
а
А
C
y
O
h
C
А
а
y
O
B
B
x
А(0; 0; 0) B(
3
a;
2
Журнал «Математика» № 01/2013
x
0,5a; 0) C(0; a; 0) M( 63 a; 0,5a; h)

8.

Правильная шестиугольная пирамида
M
z
а
А
F
y
h
O
B
А
B
а
x
E
O
C
B(
D( 3 a; a; 0)
Е(
01/2013
MЖурнал
( 3 «Математика»
a; 0,5a;№h)
D
x
D
А(0; 0; 0)
2
y
F
C
E
3
a;
2
–0,5a; 0)
3
a;
2
1,5a; 0)
C( 3 а; 0; 0)
F(0; a; 0)

9.

Способы задания плоскости
n а, b, c 0
n
Журнал «Математика» № 01/2013
М1
М0(x0, y0, z0) М (x, y, z)
М2

10.

α, проходящей через
точку М0(x0, y0, z0) и перпендикулярной
вектору n а, b, c 0 :
а x x0 b y y0 c z z0 0
:
аx by cz d 0
где n а, b, c – нормальный вектор
плоскости.
Журнал «Математика» № 01/2013
n
М(x0, y0, z0)

11.

Способы задания прямой
l,
заданной точкой М0(x0, y0, z0) и
направляющим вектором
а
а а1, а2 , а3 0 :
x x0 y y0 z z0
a1
a2
a3
Журнал «Математика» № 01/2013
l
М0(x0, y0, z0)

12.

Способы задания прямой
М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2):
l
а
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
Журнал «Математика» № 01/2013
М1(x1, y1, z1)
М2(x2, y2, z2)

13.

Расстояние между двумя точками
( A ; B )
x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z1
2
2
x1 kx2
y1 ky2
z1 kz2
x
; y
; z
1 k
1 k
1 k
Журнал «Математика» № 01/2013
2
.