Балансовые соотношения. (Лекция 2)

1.

Балансовые соотношения
Баланс массы:
у
Баланс тепла:
х
Q G′, Q′
G
G″, Q″
Q¢ = Q¢¢+ rG +C ¢¢pфGDT
1
Q = Q¢ + C ¢p GDTd
2
На практике обычно не учитывают сопротивление
фазового перехода и теплоту, которую надо
отвести для охлаждения жидкости:
δ
Расход жидкости:
G¢¢ = G¢ = G
Q = Q¢¢ + rG
G = r ¢wx bd (b – ширина пластины)
Полный тепловой поток:
wxd
aDTH
= Re =
n¢
r r ¢n ¢
Q = aDTHb = rG = r r ¢wxbd
В задачах конденсации число Рейнольдса
определяет не только характер течения, но и
интенсивность теплообмена!

2.

H
1
Средний по высоте тепловой поток: q = aDT =
qdx
ò
H 0
d
1
Средняя по сечению скорость: wx = ò wx dy
d 0
Q = qHb
H
Q
= ò qdx
b 0
G = r ¢wx bd
d
H
Q = rG
ò qdx = r r ¢ò w dy
x
0
0
Продифференцируем это уравнение по х:
d
d
q = r r ¢ ò wx dy
dx 0
d
G
= r ¢ò wx dy
b
0

3.

Система уравнений
Жидкость и пар (кроме слоя Кнудсена) считаются сплошной средой, поэтому
система уравнений не отличается от той, которая применялась для конвекции.
Уравнение неразрывности:
¶r
r
+ div ( r w ) = 0
¶t
r
¶w
r r
r
r
Уравнение движения: r
+ r ( wÑ ) w = -gradp + r g + mDw
¶t
Уравнение энергии:
rC p
¶T
r
+ r C p ( wÑ ) T = lDT + qv
¶t
Для пленки жидкости можно использовать приближение пограничного слоя:
d << H ,
¶2
¶2
¶p
<< 2 ,
=0
2
¶x
¶y
¶y
В случае турбулентного течения надо также учесть перенос импульса и
энергии турбулентными пульсациями.

4.

Граничные условия
Граничные условия на стенке и вдали от нее формулируются так же, как в
задачах конвекции: на стенке – условие прилипания, на бесконечности
задаются скорость и температура пара.
Дополнительная сложность: надо задать граничные условия на поверхности
раздела фаз пар – жидкость.
Почему это сложно?
1) Форма межфазной поверхности не известна заранее, а определяется в ходе
решения задачи.
2) Может требоваться учет неравновесных эффектов на межфазной
поверхности. На межфазной поверхности есть скачок параметров
(температуры, скорости, давления).

5.

у
х, у – лабораторная система координат
п, τ – система координат, связанная с поверхностью
х
n
На непроницаемой поверхности для скорости
задается условие прилипания:
wn¢ = wn¢¢, wt¢ = wt¢¢
δ (х, t)
τ
При наличии потока массы j (w0 – скорость границы
раздела фаз в лабораторной системе координат):
wn¢ = w0 - j r ¢ , wn¢¢ = w0 - j r ¢¢
r ¢ ( wn¢ - w0 ) = r ¢¢ ( wn¢¢ - w0 )
В связанной с поверхностью системе координат поток массы пара равен потоку
массы жидкости, т.е. сколько пара конденсируется, столько жидкости образуется.
Для касательной проекции скорости:
wt¢ = wt¢¢ + Dwcк
Dwcк = f ( j ) – скорость скольжения, вызванная неравновесностью

6.

æ ¶wi ¶w j
Граничное условие для напряжений: s ij = - pd ij + m ç
+
ç ¶x j ¶xi
è
ö
÷÷
ø
На непроницаемой плоской поверхности напряжения в разных фазах
одинаковы. На криволинейной поверхности надо учесть скачок давлений для
нормальных напряжений:
æ 1
¶w¢
1 ö
¶w¢¢
- p¢ + 2 m ¢
+ s ç + ÷ = - p¢¢ + 2m ¢¢
¶n
¶n
è R1 R2 ø
æ ¶wn¢ ¶wt¢ ö
æ ¶wn¢¢ ¶wt¢¢ ö
m¢ç
+
= m ¢¢ ç
+
÷
÷
¶
t
¶
n
¶
t
¶
n
è
ø
è
ø
При наличии потока массы через границу переносится также импульс!
- p¢ + 2 m ¢
æ 1
¶w¢
1 ö
¶w¢¢
¢¢
¢¢
+ s ç + ÷ = - p + 2m
+ j ( wn¢ - wn¢¢ )
¶n
¶n
è R1 R2 ø
æ ¶wn¢ ¶wt¢ ö
æ ¶wn¢¢ ¶wt¢¢ ö
m¢ç
+
+
÷ = m ¢¢ ç
÷ + j Dwск
¶n ø
¶n ø
è ¶t
è ¶t

7.

Граничное условие для температуры
Если неравновесные эффекты не учитываются, то температуры фаз
одинаковы. В общем случае
T ¢ = T ¢¢ - DTф
Граничное условие для потока энергии
На непроницаемой поверхности потоки
энергии в разных фазах одинаковы:
При наличии фазового перехода
надо учесть его теплоту:
l¢
¶T ¢
¶T ¢¢
l¢
= l ¢¢
¶n
¶n
¶T ¢
¶T ¢¢
¢¢
=l
+ jr
¶n
¶n
Это выражение можно применять, если скорости фаз малы в сравнении со
скоростью звука. В общем случае кроме теплового потока надо учесть поток
кинетической энергии, работу сил давления и вязкого трения:
æ
w¢2 ö
¶T ¢
s n¢ wn¢ + s t¢ wt¢ + j ç h¢ +
= s n¢¢wn¢¢ + s t¢¢wt¢¢ +
÷ + l¢
2 ø
¶n
è
æ
w¢¢2 ö
¶T ¢¢
j ç h¢¢ +
÷ + l ¢¢
2 ø
¶n
è

8.

¶d
¶d
Кинематическое граничное условие для поверхности:
+ wt¢
= w0n
¶t
¶t
Связь производных в разных системах координат
у
n
х
β
τ
¶
¶
¶
= cos b
- sin b
¶x
¶t
¶n
¶
¶
¶
= sin b
+ cos b
¶y
¶t
¶n
¶d
tgb =
¶x
При малой толщине пленки можно считать β ≈ 0.