Задача Нуссельта. (Лекция 3)

1.

Задача Нуссельта
у
х
δ
Тw
Тs
Задача Нуссельта – пленочная конденсация
неподвижного пара на вертикальной стенке.
При этом:
А) Пар сухой и находится в состоянии насыщения.
Б) Течение жидкости является ламинарным.
В) Задача стационарная.
Допущения:
1) Силы инерции малы по сравнению с силами вязкости и гравитации:
r r
r
r
r w ( Ñw ) = -Ñp + r g + mDw
2) Конвективным переносом тепла можно пренебречь в сравнении с переносом тепла
r
теплопроводностью:
r C p w ( ÑT ) = lDT
3) Трение на границе раздела фаз отсутствует.
4) Термическое сопротивление фазового перехода мало по сравнению с сопротивлением
пленки, температура межфазной поверхности равна температуре насыщения.
5) Свойства жидкости постоянны.
6) Поверхностное натяжение не влияет на движение жидкости.
7) Плотность пара намного меньше плотности жидкости.

2.

Замечание: в общем случае необходимо решать сопряженную задачу, т.е. рассматривать
процессы в паре и в жидкости совместно. Здесь это не нужно, т.к. неравновесность и
межфазное трение не учитываются.
Толщина пленки мала по сравнению
с высотой поверхности
æ ¶ 2 wx ¶ 2 wx
¶p
- + rg + m ç 2 +
2
¶x
¶
x
¶
y
è
Можно использовать приближение
пограничного слоя!
ö
÷=0
ø
¶ 2T ¶ 2T
+ 2 =0
2
¶x
¶y
Окончательная система уравнений:
¶ 2 wx
m ¢ 2 = - r ¢g
¶y
Граничные
условия:
¶ 2T
=0
2
¶y
y = 0 : wx = 0, T = Tw
y = d ( x ) : ¶wx ¶y = 0, T = Ts
Смысл граничного условия для скорости на межфазной поверхности пар – жидкость –
отсутствие динамического воздействия пара на жидкость (касательное напряжение
равно нулю).

3.

Профиль температуры:
T = C1 y + C2
y = 0 : T = Tw
C2 = Tw
y = d : T = Ts
C1 = ( Ts - Tw ) d
T = ( Ts - Tw )
y
+ Tw
d
¢ æ ¶T ö
q
l¢
l
Коэффициент теплоотдачи: a =
=
=
ç
÷
Ts - Tw Ts - Tw è ¶y ø y =0 d
r ¢g 2
Профиль скорости: wx = y + C1 y + C2
2m ¢
y = 0 : wx = 0
y = d : ¶wx ¶y = 0
C2 = 0
C1 = r ¢gd m ¢
r ¢g æ
y2 ö
wx =
dy- ÷
ç
m¢ è
2 ø
d
r ¢g 2
1
Средняя скорость: wx =
d
wx dy =
ò
3m ¢
d 0
Температура и скорость зависят от толщины пленки, которая, в свою очередь,
является функцией координаты х.

4.

Как найти δ(х)?
d
1) Балансовые соотношения
d
d
q = r r ¢ ò wx dy = r r ¢ ( wxd )
dx 0
dx
r ¢g 3
l¢
wxd =
d , q = ( Ts - Tw )
3m ¢
d
l¢
r r ¢2 g d d 3
( Ts - Tw ) = ¢ ×
d
3m
dx
14
l ¢m ¢
3 dd
d
=
T - Tw )
2 ( s
dx r r ¢ g
2) Кинематическое граничное условие
æ 4l ¢m ¢DTx ö
d =ç
÷
2
¢
r
r
g
è
ø
wxгрy =d
dd
= w , wгр = j r ¢ + wy
dx
¶w ¶w
+
=0
Уравнение неразрывности:
¶x ¶y
¶wy
r ¢g d d
=y
¶y
m ¢ dx
y = 0 : wy = 0
r ¢gy 2 d d
wy = ×
+ f ( x)
2 m ¢ dx
f ( x) = 0
y =d

5.

wxгрy =d × d d dx = w
r ¢gy 2 d d
wy = ×
,
2 m ¢ dx
wx
y =d
q r ¢g 2 d d
wгр =
×d
r r ¢ 2m ¢
dx
q
j=
r
r ¢g 2
=
×d
2m ¢
В итоге получаем уравнение
l¢
q = ( Ts - Tw )
d
r ¢g 2 d d l ¢ ( Ts - Tw ) r ¢g 2 dd
×d
=
×d
2m ¢
dx
r r ¢d
2m ¢
dx
dd
l ¢m ¢
d
=
T - Tw )
2 ( s
dx r r ¢ g
3
То же самое, что и в
предыдущем случае!
14
¢ æ l ¢ rg r ¢ ö
l
Коэффициент теплоотдачи: a =
=ç
÷
d è 4 m ¢DTx ø
3
h
4
1
a = ò a dx = a
3
h0
14
æ l ¢ rg r ¢ ö
= 0,943 ç
÷
¢
m
D
Th
è
ø
3
x =h
2
2

6.

Если ввести число Рейнольдса:
wxd aDTh
Re =
=
n¢
r r ¢v¢
14
2
14
æ l ¢ rg r ¢ DT h ö
Re = 0,943 ç
× 4 4 4÷
è m ¢DTh r r ¢ n ¢ ø
æ l ¢ rg r ¢ ö
a = 0,943 ç
÷
¢
m
D
Tx
è
ø
3
3
2
4
4
14
æ l ¢ h DT g ö
34
Re = 0,943 ç
=
0,943Z
3 5 3 ÷
¢
r
n¢ r ø
è
3 3
3
13
Z – приведенная длина:
æ g ö l ¢DTh
Z =ç 2 ÷ ×
r r ¢n ¢
èn ¢ ø
В общем случае надо учесть: а) силы инерции, б) зависимость свойств от температуры,
в) волны на межфазной поверхности.
a = a Nuey e T e v
Волны на межфазной поверхности возникают, если
Для воды Reволн ≈ 5.
Re > Reволн
æ
ö
s
= 0,56 ç
13 43 ÷
¢
r
g
n¢ ø
è

7.

a = a Nuey e T e v
ey » 1
38
18
æ lw¢ ö æ ms¢ ö
eT = ç ÷ ç ÷
è ls¢ ø è m w¢ ø
e v = Re 0,04
Обобщенная формула:
Re = 0,95Z 0,78e T
Свойства берутся по температуре насыщения.

8.

Турбулентное течение жидкости
При турбулентном течении тепло и импульс переносятся не только за счет
взаимодействия молекул, но и за счет турбулентных пульсаций:
q = ( l + r C pe q )
¶wx
¶T
, s = ( m + re s )
¶y
¶y
Критическое число Рейнольдса для жидкости в пленке равно 400.
Турбулентное число Прандтля:
PrT = e s e q » 1
æ
Pr e s ö ¶T
æ e s ö ¶wx
q = l ç1 +
× ÷
, s = m ç1 + ÷
PrT n ø ¶y
n ø ¶y
è
è
Считаем, что тепловой поток через пленку не зависит от координаты у:
¶q
=0
¶y
d
dy
es ( y ) ö
æ
0
l ¢ ç 1 + Pr
÷
n
è
ø
-1
d
æ
ö
q
dy
a=
= çò
÷
¢
Ts - Tw è 0 l ( 1 + Pr e s n ) ø
Ts - Tw = q ò

9.

Результаты расчетов с использованием модельных зависимостей турбулентной вязкости
от координаты аппроксимировались следующим выражением для локального
коэффициента теплоотдачи:
13
a æn ¢ ö
l ¢ çè g ÷ø
2
= 0,0325 Re1 4 Pr1 2
Для расчета среднего коэффициента теплоотдачи необходимо учесть, что на начальном
участке пластины течение является ламинарным:
h
1
1
a = ò a dx =
h0
h
xкр
h
xкр
æ xкр ö
1
ò0 a лам dx + h xò a турб dx = a лам h + a турб çè1 - h ÷ø
кр
Связь числа Рейнольдса и приведенной длины:
13
aDTh
æ g ö l ¢DTh
Re =
, Z =ç 2 ÷ ×
r r ¢v ¢
r r ¢n ¢
èn ¢ ø
13
a æn ¢ ö
Re = ç
×Z
÷
l¢ è g ø
2
13
Re a æ n ¢ ö
= ç
Z l ¢ è g ÷ø
d Re
= 0,0325 Re1 4 Pr1 2
dZ
2

10.

d Re
= 0,0325 Re1 4 Pr1 2
dZ
d Re
12
=
0,0325
Pr
dZ
14
Re
Интегрируем это выражение в пределах от Zкр до Z и от Reкр до Re:
4
34
34
12
Re
Re
=
0,0325Pr
Z - Z кр )
(
(
кр )
3
Подставим значения Reкр = 400, Zкр = 2300 (приведенная длина получается из формулы
для ламинарного режима при критическом числе Рейнольдса) и выразим число
Рейнольдса:
Re = éë89 + 0,024 Pr
12
( Z - 2300 ) ùû
34
С учетом зависимости свойств от температуры:
é
ù
æ Prs ö
12
Re = ê89 + 0,024 ç
Prs ( Z - 2300 ) ú
÷
êë
úû
è Prw ø
14
34