Решение тригонометрических неравенств и их систем

1. Повторительно-обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем»

2.

Цели урока:
Образовательные:
* Обобщить и систематизировать знания учащихся о различных
видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их
решения.
* Обогатить и углубить знания учащихся применением
тригонометрических неравенств и их систем в нестандартных
ситуациях.
* Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её
применения для выполнения практических заданий стандартного
уровня с переходом на более высокий уровень.
Развивательные:
* Способствовать развитию умения анализировать, наблюдать и
делать выводы.
Воспитательные:
* Выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей
работы и работы товарища.
* Повысить интерес учащихся к нестандартным задачам,
сформировать у них положительный мотив учения.

3.

Виды тригонометрических неравенств и
методы их решения

4. I. Простейшие тригонометрические неравенства (неравенства вида sin x>(<)a, cos x>(<)a, tg x>(<)a, ctg x>(<)a

Алгоритм решения неравенств с помощью единичной
окружности.
Пример.
sin x ≥½
1. Заменить неравенство уравнением (устно) и
отметить на единичной окружности точки,
соответствующие уравнению.
2. Отметить на единичной окружности точки,
соответствующие неравенству (выделить
соответствующую дугу).
3. Указать направление отсчёта (на выделенной
дуге отмечается положительное направление,
т. е. против часовой стрелки).
4. Найти начало дуги и угол, ему соответствующий (меньший угол).
5. Найти конец дуги и угол, ему соответствующий (больший угол).
6. Записать ответ в виде двойного неравенства с учётом периодичности функции (слева – угол,
соответствующий началу дуги).
7. Записать ответ в виде промежутка.
1
5
1
- начало
arcsin ;
arcsin ; - конец
дуги,
2 6
С учётом периодичности:
Ответ:
дуги,
(
6
6
2
2 n x
+ 2 n;
5
2 n, n Z
6
5
2 n), n Z .
6
6
6
6
X
5
6

5.

Алгоритм решения неравенств графическим способом
Пример:
сosx
2
2
3
5
;
4
4
1. Заменить неравенство уравнением и
построить графики функций y=f(x) , где
f(x) – одна из тригонометрических
функций, и y=a.
2. Отметить точки пересечения графиков
функций y=f(x) и y=a, найти абсциссы
этих точек.
3. Отметить ту часть графика, которая
соответствует данному неравенству.
4. На главном периоде выделить промежуток
оси x, на котором выполняется заданное неравенство.
5. Записать ответ в виде двойного неравенства (слева-меньший угол) с учётом
периодичности функции.
6. Записать ответ в виде промежутка.
3
5
2 n x
2 n, n Z ;
4
4
Ответ: 34 2 n, 54 2 n , n Z .

6. II. Неравенства, приводимые к простейшим

1. С помощью введения нового неизвестного t= ax+ b
Суть метода: введя новую переменную t=ax+b, привести неравенство к
простейшему виду. Решить полученное неравенство для переменной t. Затем вернуться
к переменной x и найти её значение. Записать ответ в виде промежутка.
4
cos 4 x .
3
7
Пример:
Решение:
Учитывая, что функция f(x)- чётная, запишем неравенство в виде:cos 4x π 4 .
Пусть
4
4 x t , тогда неравенство примет вид cos t .
3
7
4
4
arccos ; arccos
7
7
4
4
arccos 2 n t arccos 2 n, n Z
7
7
4
4
arccos 2 n 4 x
arccos 2 n, n Z
7
3
7
4
4
arccos 2 n 4 x
arccos 2 n, n Z
3
7
3
7
1
4 n
1
4 n
arccos
x
arccos
,n Z
12 4
7
2
12 4
7
2
Ответ :
12
1
4 n
1
4 n
arccos
;
arccos
, n Z .
4
7
2 12 4
7
2
3
7

7.

2. С помощью основных тригонометрических формул.
Суть метода: используя основные тригонометрические формулы, приводим
неравенство к простейшему виду. Далее применяем алгоритм решения простейших
тригонометрических неравенств.
Пример:
5
sin 4 x cos 4 x .
8
Решение.
Преобразуем левую часть неравенства к виду: sin 2 x cos 2 x 2 2 sin 2 x cos 2 x 5 ;
8
1
5
1 cos 2 x 1 4 sin 2 x cos 2 x ;
sin x
:
2
8
2
1
5 1
3
3
1 cos 4 x 3
3
1
1 sin 2 2 x ; sin 2 2 x ; sin 2 2 x .
;2 1 cos 4 x 3;1 cos 4 x ; cos 4 x .
2
8 2
8
4
2
4
2
2
Используем формулу понижения степени
2
Пусть 4х=t, тогда неравенство примет вид:
1
cos t .
2
2
2 4
1
1
; 2 arccos 2
.
3
3
3
3
2
2
2
4
2 n t
2 n, n Z ;
3
3
2
4
2 n 4 x
2 n, n Z ;
3
3
n
n
x , n Z.
6 2
3 2
Ответ : n ; n , n Z .
6 2 3 2
arccos

8.

3.С помощью введения вспомогательного угла.
(неравенства вида A sin x B cos x C, A sin 2 x B cos 2 x C , где А,В,С-данные числа и АВ 0).
Общий метод: Пусть дано неравенство Asin x B cos x C.
A B 0 A B 0,
2
2
2
2
a 2 b 2 1,
A
;b
A B
то можно подобрать такой угол , что
неравенство (2) можно записать в виде
Если же подобрать такой угол
записать в виде
неравенства на
тогда (1) примет вид:
a sin x b cos x c 2 , гдеa
Т.к.
(1) Разделим обе части
2
2
B
A B
;c
2
cos x cos sin x sin c
, что a cos
и
C
A B2
a sin и b cos . Тогда
2
b sin ,
2
или cos( x )
c
(3).
то неравенство (2) можно
sin x c (4).
Таким образом, решение неравенства (1) сводится к решению простейшего неравенства
(3) или (4).

9.

2
Пример: 2 sin x 2 3 sin x cos x 2 1.
Решение:
Преобразуем левую часть неравенства: 2 sin 2 x 1 2 3 sin x cos x 2.
Используем формулы sin 2x 2 sin x cos x и
cos 2 x 1 2 sin 2 x, тогда 3 sin 2 x cos 2 x 2.
3
3
1
2
sin 2 x cos 2 x
.
12 2, получим
2
1
2 2
2 2
3
Так как cos
и sin , то sin 2 x cos cos 2 x sin
; sin 2 x
.
6
2
6 2
6
6
2
6 2
2
.
Пусть 2 x
t , тогда sin t
2
6
Разделим обе части неравенства на
2
2 3
; arcsin
.
2
4
2
4
3
2 n t
2 n, n Z ;
4
3
2 n 2 x
2 n, n Z ;
6
4
arcsin
4
4
2
2 n 2 x
3
2 n, n Z ;
4 6
4 6
5
11
2 n 2 x
2 n, n Z ;
12
12
5
11
n x
n, n Z .
24
24
Ответ : 5 n; 11 n , n Z .
24
24

10.

III. Неравенства, решаемые заменой переменной
1.Приводимые к квадратным или рациональным заменой t=f(x), где f(x) одна из тригонометрических функций.
Пример: 11sin x cos 2x 6.
Решение.
2
Преобразуем данное неравенство: 11sin x 1 2 sin x 6 0;
2 sin 2 x 11sin x 5 0;
2 sin 2 x 11sin x 5 0.
2
Пусть sin x t; t 1;1 , тогда неравенство примет вид: 2t 11t 5 0.
2t 2 11t 5 0; D 81; t1
Решим данное неравенство:
1
1
1
1 t ; 1 sin x ; sin x .
2
2
2
arcsin
1
7
1
; arcsin .
2
6
6
2 6
7
2 n x 2 n, n Z .
6
6
Ответ : 7 2 n; 2 n , n Z .
6
6
1
; t 2 5.
2

11. 2. Неравенства, решаемые введением новой переменной t=sinx+cosx.

Рассмотрим неравенства, в которые входят выражения sinx+cosx и sin2x. Их удобно
решать при помощи замены неизвестного t=sinx+cosx, так как при этом
sin2x = 2sinxcosx = sin 2 x + 2sinxcosx + cos 2 x - 1 = (sinx + cosx) 2 - 1 = t 2 - 1.
Пример 1.
Решение.
2 sin x cos x t 1. В результате неравенство примет
t 2 вид
1 t 1илиt 2 t 2 0.
2 sin x cos x sin x cos x 1.
Пусть t sin x cos x,
тогда
2
2
t t 2 0; t1 2; t 2 1.
2 t 1
2 sin x cos x 1.
Разделим обе части неравенства
на
2, получим:
2
2
1
2
sin x
1
2
cos x
1
2
;
2
2
2 sin x
sin x
.
4
2
4
2
a
.
Пусть x a, тогда неравенство примет sin
вид
2
4
2
5
; ;
4
4
4
5
5
2 n a 2 n; n Z ;
2 n x 2 n; n Z ;
4
4
4
4 4
3
2 n x 2 n; n Z .
2
Ответ : 3 2 n;2 n , n Z .
2

12. Алгоритм решения тригонометрических неравенств методом интервалов.

IV. Неравенства, решаемые методом интервалов.
1. С помощью преобразований привести неравенство к виду f(t)>0 (f(t)<0) (если
это необходимо).
2. Найти основной период Т функции f (Т равен НОК периодов, входящих в
неравенство тригонометрических функций).
3. Найти нули функции f(t) на промежутке [0;T], решив уравнение f(t)=0.
4. Найти точки разрыва функции f(t) на этом промежутке.
5. Найденными точками разделить отрезок [0;T] на части, в каждой из которых
функция f(t) имеет постоянный знак.
6. Определить знак функции в каждой части методом пробных точек (результат
удобно оформить в виде таблицы).
7. Выбрать те части, в которых выполняется исходное неравенство.
8. Учитывая периодичность функции, записать решение исходного неравенства.

13.

2 sin x 1
0.
x
2 cos 1
2
Пример:
1. f(x)=
Решение.
2 sin x 1
.
x
2 cos 1
2
2. Т(f)=4
3. Найдём нули функции на промежутке 0;4
1
2sinx+1=0; 2sinx=-1; sinx=- 2 ; x= 1
n 1
n, n Z .
6
Выберем из данной серии решений те значения х, которые принадлежат 0;4 .
f(x)=0;
n 0; x
6
0;4 ;
7
0;4 ;
6
11
n 2; x
0;4
6
19
n 3; x
0;4
6
23
n 4; x
0;4
6
n 1; x
n 5; x
6
2 0;4
Итак, x 7 ; 11 ; 19 ; 23 0;4 .
6
6
6
6
4. Найдём точки разрыва функции на промежутке 0;4 .
2 cos
x
x 1 x
2
1 0; cos ; 2 n, n Z ; x
4 n; n Z .
2
2 2 2
3
3
Выберем из данной серии значения х, принадлежащие промежутку 0;4
2
2
0;4 ; x
0;4 ;
3
3
2
10
2
14
n 1; x
4
0;4 ; x
4
0;4 ;
3
3
3
3
2
22
2
26
n 2; x
8
0;4 ; x
8
0;4
3
3
3
3
n 0; x
2 10
Итак, x 3 ; 3 0;4 .
5.

14.

6. Определим знак функции в каждой части методом пробных точек.
2
0; 3
2 7
;
3 6
7 11
6 ; 6
11 19
6 ; 6
19 10 10 23
6 ; 3 3 ; 6
23
6 ;4
2 sin x 1
+
+
-
+
-
-
+
x
1
2
+
-
-
-
-
+
+
+
-
+
-
+
-
+
2 cos
левая
часть
7. Неравенство выполняется при
2
х 0;
3
7 11 19 10 23
;
;4 .
;
3 6
6 6 6
8. Учитывая периодичность функции, запишем ответ:
2
11
10
7
19
x 4 k ;
4 k
4 k ;
4 k
4 k ;
4 k
3
6
3
6
6
23
4 k ;4 4 k , k Z .
6

15. V. Системы тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения систем неравенств:
1. Отметить на окружности решение первого неравенства системы.
2. Отметить решение второго неравенства системы.
3. Выделить общее решение системы (пересечение дуг).
4. Записать общее решение системы неравенств.
Пример:
2
cos x
2 ;
sin x 1 .
2
Решение.
3
2 n, n Z .
6
4
Ответ : 2 n; 3 2 n , n Z .
4
6
2 n x

16. VI. Использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функции.

1
y tg 2 x
Пример:
1 2 sin x
.
Решение.
Область определения функции находим из условий:
1)2 x
2
n, n Z , т.е. x
2)1 2 sin x 0; sin x
4
n
2
, n Z;
1
.
2
7
5
5
7
7
Тогда x 6 2 n; 4 2 n 4 2 n; 4 2 n 4 2 n; 6 2 n , n Z .
Ответ: 76 2 n; 54 2 n 54 2 n; 74 2 n 74 2 n; 6 2 n , n Z .
6
7
; .
6
6

17. VII. Неравенства смешанного типа.

Пример:
2 4 cos
2
x 2
2 4 cos
2 1 cos x
2
2 2,
x 2
2 1 cos x
2 2.
Решение.
откуда 4 cos 2 x 2 2 1 cos x 2 .
Пусть cos x t , t 1;1 , тогда 4t 2 2 2 1 t 2 0;
2
4t 2 2 2 1 t 2 0; D 4 2 1 4 4 2 8 8 2 4 16 2 12 8 2
2
4 3 2 2 4 2 1 ;
t1
2 2 1 2 2 1 4 2
2
2 2 1 2 2 1 1
;t2
.
8
8
2
8
2
2
1
2
1
t ;
cos x .
2
2
2
2
3
2 n x
3
2 n, n Z
4
3
2 n x 2 n, n Z .
4
3
Ответ : 3 2 n; 2 n 2 n; 3 2 n , n Z .
3
4
4
3
и