Непрерывность функции одной переменной

1. 1. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на множестве 2. Классификация точек разрыва

Тема 9. Непрерывность функции одной
переменной
Вопросы:
1. Непрерывность функции в точке. Односторонняя
непрерывность. Непрерывность функции на
множестве
2. Классификация точек разрыва

2. 1. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность.

Функция y = f(x), определенная на интервале (а, b),
называется непрерывной в точке x0 (a, b) , если
lim f ( x) = f ( x. 0 )
x x0
Условия непрерывности функции в точке х0:
1. Точка должна принадлежать области определения
функции. Функция должна быть определена и в
некоторой окрестности точки х0.
2. Функция f(x) должна иметь конечный предел в
точке х0, т. е.
lim f(x) = А.
x x0
3. Этот предел А должен быть равен значению
функции в этой точке, т. е. f(x0) = А.

3.

lim f ( x) = f ( x0 ) не имеет смысла,
Если соотношение x
x0
то функция называется разрывной в точке х = х0, а
сама точка х = х0
называется точкой разрыва
функции f(x).
Функция f(x) называется непрерывной при х = x0,
если её левосторонний и правосторонний пределы
существуют, равны между собой и равны значению
функции в этой точке, т. е.
f(x0 – 0) = f(x0 + 0) = f(x0).
Функция f(x), определенная в некоторой левой
(правой)
окрестности
точки
x0,
называется
непрерывной слева (справа) в точке x0, если
существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он
равен f(x0).

4.

2. Классификация точек разрыва
Если f(x0 – 0) ≠ f(x0 + 0), то точка x0 называется точкой
разрыва первого рода.
Величина f(х0 + 0) – f(х0 – 0) называется скачком
функции f(х) в точке х0.
Если в точке х = х0 не существует левосторонний или
правосторонний предел функции или не существуют
оба предела одновременно, то эта точка называется
точкой разрыва второго рода.
Если в точке х = х0 f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), то точка
х = х0 называется точкой устранимого разрыва.
Разрыв «устраняется», полагая f(x0) равным f(x0 – 0) и
lim f ( x)
f(x0 + 0), т. е. принимают, что f(x0) = x
x
0