Уравнения n-го порядка: комплексные числа и линейные дифференциальные уравнения

1.

Математика 3
Раздел 1
Дифференциальные уравнения
Уравнения n-го порядка
Лектор:
доцент отделения математики и
математической физики
Имас Ольга Николаевна

2.

Комплексные числа.
Число
−1 = i
или
называется мнимой единицей.
i 2 = −1
Мнимая ось
ОПР. Комплексным числом z называется
упорядоченная пара чисел z=(x,y) с
определенными операциями над ними.
z(x,y)
y
x – действительная часть числа z: x=Rez
y – мнимая часть: y=Imz
x
Действительная ось
или вещественная ось

3.

Алгебраическая форма :
x = cos
y = sin
z = x + i y Комплексно сопряженное: z* = x - i y
y
=>
φ
Тригонометрическая форма комплексного числа:
z = (cos φ + i sin φ)
=| z |
− модуль числа z
=| z |= x 2 + y 2 = z z *
z(x,y)
O
x
= arg z − аргумент числа z
y
arctg
, z I , IV
y
x
tg = =
x
arctg y + , z II , III
x
i
e
= cos + i sin
Формула Эйлера
Показательная форма комплексного числа: z = e i φ

4.

ОПР. Комплексное число w называется корнем n-ой степени из числа z,
если z =wn.
Теорема.
Обозначают
w=
n
z = z1 / n
+ 2 k
i
n
z = n e n
k = 0, 1, 2, …, (n-1)
Пример извлечения корня из комплексного числа
пропустить 15 клеточек

5.

Линейные однородные дифференциальные уравнения nго порядка с постоянными коэффициентами
Опр.
Если в ЛОДУ (18 ) все коэффициенты bi(x)=const,
y
( n)
+ b1 y
( n−1)
или
+ ... + bn−1 y + bn y = 0
(18)
L[ y ] = 0
то уравнение называется линейным однородным ДУ n-го порядка с
постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
ЛОДУ не имеет особых решений.
пропустить 5 клеточек
Будем искать частные решения в виде:
y = e kx
пропустить 10 клеточек
n
k + b1k
Опр.
n−1
+ ... + bn−1k + bn = 0
Уравнение (19) называется характеристическим уравнением
(19)

6.

Возможные варианты корней характеристического уравнения и
соответствующие им наборы ФСР
таблица 1
Вид корня
Соответствующие линейно независимые решения
1. ki∈R
кратность 1
yi = e k i x
2. k=a±ib∈C
кратность 1
3. k∈R
кратность r
y1 = e a xcos(bx) y2 = e a xsin(bx)
y1 = e kx , y2 = xe kx , y3 = x2e kx , … , yr = xr-1e kx
ax
ax
r-1 a x
4. k=a±ib∈C y1= e cos(bx) y3=x·e cos(bx)… yr=x e cos(bx)
кратность r
y2= e a xsin(bx) y4= x·e a xsin(bx)… yr= xr-1e a xsin(bx)
пропустить 1.5 страницы

7.

Линейные неоднородные ДУ n-го порядка
L[ y ] = f (x)
(20)
где f (x) заданная непрерывная на (a, b) функция.
Не имеют особых решений (аналогично ЛОДУ).
Свойства решений ЛНДУ
Теорема.
(о структуре общего решения)
Общее решение на отрезке (a,b) уравнения (20) равно сумме общего
n
решения yoo =
C y
i i соответствующего ЛОДУ
i =1
либо частного решения
L[ y ] = 0 и какого-
y ЛНДУ L[ y ] = f ( x )
y=y +~
y
oo
пропустить 15 клеточек
Теорема. Если yi - решение уравнения
n
то
y=
y
i i – решение уравнения
i = 1, k
L[ y ] = fi (x)
k
L[ y ] =
f ( x)
i i
i =1
i =1
свойство называется принцип суперпозиции – принцип наложения решений

8.

Метод вариации произвольной постоянной
(Метод Лагранжа)
y (n) + b1 ( x) y (n−1) + ... + bn−1 ( x) y + bn ( x) y = f ( x)
n
Соответствующее однородное ДУ: L[ y ] = 0
yoo =
=>
Рабочая система
Вывод посмотреть самим
C y
i
i
i =1
n
Пусть Ci=Ci(x)
(20)
y = Ci ( x) yi ( x)
i =1
C1 ( x) y1 + C2 ( x) y2 + ... + Cn ( x) yn = 0
C1 ( x) y1 + C2 ( x) y2 + ... + Cn ( x) yn = 0
(21)
( n−2)
( n−2)
( n−2)
C1 ( x) y1
+ C2 ( x) y2
+ ... + Cn ( x) yn
=0
( n−1)
+ C2 ( x) y2( n−1) + ... + Cn ( x) yn( n−1) = f ( x)
C1 ( x) y1
=> Ci(x) = i(x) + Či
n
Общее решение:
n
n
y = ( i ( x) + C
i ) yi = i ( x) yi + Ci yi
пропустить полстраницы
i =1
i =1
i =1
(22)

9.

Метод неопределенных коэффициентов для ЛНДУ
со специальной правой частью
Общее решение
y = yoo + ŷ
Вид спец правой части
Вид ŷ
L[ y ] = f (x)
yoo – по таблице 1
ŷ – по таблица 2
f(x) = e x [Ps (x)cos x + Qt (x)sin x]
ŷ = xr e x [Rq (x) cos x + Tq (x) sin x], q = max(s,t)
Если + i = k – корень кратности r для L[ y ] = 0
пропустить страницу