Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач

1. Тема урока: Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач

2.

Задание 1. Вычислить определенный интеграл по формуле НьютонаЛейбница.
1)
5 1
1
x
0 x dx 5
1
.
5
4
0
1
3
x
1( x 1)dx 3 x
3)
1
2 x
x dx
3
3
5)
1
4
1
2 x
e
dx
e
1
1 1
2
1 1 2 .
3 3
3
4
0
2 x
0
2
1
e2 1
.
2
1
2
2)
4)
2
4
3
6)
2
dx
1 x ln x
2
2
1
ln 2.
2
1
0 sin 4 xdx 4 cos 4 x 0 0

3.

Задание 2. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
интегрирования.
1)
4
t x 7
9
2
1
t
x x 7dx dt 2 xdx 2 1 t dt 3
2 2
2
9
1
1
2
9 8
3
3
9
2 x 1 t 1 dt
2 xdx
1
1 1 1
1 (2 x 2 1)2 4 xdx dt 2 3 t 2 2t 18 6 9 .
3
2
2)
3)
3
9
2
1
cos xdx t sin x
(sin x) 3 dt cos xdx
2
4
1
2
2
dt
1
2
3
t
2t
1
1
( 1)
2
2
2
2

4.

4)
8
1
u x
dx
8
8
3x 1
2
2x
xdx
3 x 1 3 x 1dx
dx
du
31
3
3x 1
1
t 3 x 1 1 dt 2
dx
3x 1
v
3 x 1 dt 3dx 3 t 3
dv
8
2x
4
3x 1
3
27
1
(3 x 1)
3
8
1
16
4 4
32 216
5 125
8
3
3 27
27 27

5.

Вычисление площади криволинейной трапеции
Если
y f (x) - непрерывная функция,
b
S f ( x)dx
a
f ( x) 0
на [a, b], то

6.

Вычисление площади криволинейной трапеции
Если
y f (x) -
непрерывная функция,
b
S f ( x)dx
a
b
a
f ( x ) 0 на [a, b], то
f ( x)dx

7.

Вычисление площади криволинейной трапеции
Если y
где
f (x) непрерывная на [a; c], y g (x) непрерывная на [c; b]
c
b
a
c
c [a; b] , то S f ( x)dx g ( x)dx

8.

Пример №1: Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
y=x2, прямыми x=1, x=3 и осью Ох

9.

Вычисление площадей плоских фигур
Если
y f ( x), y g ( x)
- непрерывные функции на [a; b],
b
f ( x) g ( x) на [a; b], то S ( f ( x) g ( x))dx
a

10.

Вычисление площадей плоских фигур
Если y=f(x), y= g(x) непрерывные функции на [а; в], f(x)≥g(x) на [с; в],
c
b
a
c
где с є [а; в], f(x)≤ g(x) на [а; с], тоS ( g ( x) f ( x)) dx ( f ( x) g ( x)) dx

11.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х+3, у=х2 +1

12.

Вычисление объемов тел вращения
b
V y 2 dx
a

13.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
плоской фигуры, ограниченной линиями у2=х, х=1

14.

2
3
x
S 2 x dx 2
3
0
2
2
0
16
1
5
3
3

15.

=
0
0
S 2 Sinxdx 2Cosx
2(Cos Cos0) 2( 1 1) 4

16.

1
2
3
1
x
S= ( x 1)dx ( x 1)dx ( x) +
0
3
0
1
2
x3
1
8
1
x) 1 2 1 2
+ (
3
3
3
3
2
2
1

17.

2
4
4
2
1
S x dx (6 x)dx x dx
2
1

18. Домашнее задание: 1. Прочитать параграф 5 2. Выполнить примеры: 4.3(2;4) 4.4(2;4) 4.10(3) 5.3 (1)